Воронин Сергей Григорьевич

Глава 2. Электромеханические свойства двигателей постоянного тока

Двигатель является основным элементом привода и в наибольшей степени определяет его регулировочные характеристики, динамические свойства и энергетические показатели. Правильный выбор двигателя позволяет спроектировать электропривод, способный успешно решать поставленные задачи, удовлетворяющий перечисленным выше требованиям технического задания. Но такой выбор можно осуществить только на основе знаний особенностей, статических и динамических характеристик двигателей. Эти же знания необходимы для синтеза устройств управления приводом.

В настоящем курсе основное внимание уделено электродвигателям, нашедшим наибольшее применение в электроприводах промышленной автоматики, в бытовой и медицинской технике, в летательных аппаратах и др. К таким двигателям относятся коллекторные двигатели постоянного и переменного тока, асинхронные с короткозамкнутым и фазовым ротором и синхронные двигатели. В отдельный класс выделены вентильные двигатели, нашедшие широкое применение во всех перечисленных выше отраслях и системах.

2.1. Электромеханические свойства коллекторных двигателей постоянного тока независимого возбуждения

Коллекторные двигатели постоянного тока являются наиболее распространенными исполнительными двигателями систем автоматики различного назначения, поэтому их свойства рассматриваются в настоящем курсе наиболее подробно. По типу возбуждения они делятся на две группы: с электромагнитным и с магнитоэлектрическим возбуждением. Двигатели с электромагнитным возбуждением применяются главным образом в системах промышленной автоматики и имеют мощность от киловатта и выше. Двигатели с магнитоэлектрическим возбуждением, т.е. с возбуждением от постоянных магнитов, чаще выполняются на мощность не более нескольких киловатт и применяются в системах управления летательных аппаратов, приборных системах управления и др.

По конструкции якоря двигатели делятся на три группы: с зубцовым якорем, с гладким якорем, с диэлектрическим якорем (дисковым или полым). Конструкции с зубцовым якорем являются традиционными в коллекторных двигателях. Достоинством таких конструкций является хорошие удельные энергетические показатели и относительная дешевизна. Двигатели с гладким якорем имеют меньшие пульсации момента и допускают большие перегрузки по сравнению с зубцовыми. Двигатели с диэлектрическим якорем имеют по сравнению с другими конструкциями высокое быстродействие и используются в электроприводах с жесткими требованиями к динамическим свойствам.

2.1.1. Электромеханические характеристики

Схема замещения двигателя постоянного тока независимого возбуждения, при определенных допущениях, может быть представлена в виде (рис. 2.1).

png-file, 12 KB

Рис. 2.1. Схема замещения двигателя постоянного тока независимого возбуждения

В соответствии с этой схемой, уравнения напряжений для обмотки возбуждения и якорной обмотки имеют вид

(2.1)

$u_в = i_в R_в + L_в di_в/dt$,

(2.2)

$u_я = i_я R_я + L_я di_я/dt + e$,

где $u$ и $i$ – мгновенные значения напряжения и тока, а $R$ и $L$ – активное сопротивление и индуктивность обмоток, с индексом (в) – обмотки возбуждения, с индексом (я) – якорной обмотки.

Э.д.с. якорной обмотки определяется соотношением

(2.3)

$e = K Φ ω$,

где $ω$ – мгновенное значение скорости вращения якоря, $Φ$ – мгновенное значение потока, $K$ – конструктивный коэффициент, который определяется соотношением

$K = p N / (2 a)$,

где $p$ – число пар полюсов, $N$ и $a$ – соответственно число активных проводников и число параллельных ветвей якорной обмотки.

При рассмотрении статических характеристик предположим, что напряжения на обмотке возбуждения и на якорной обмотке постоянны ($d~/dt→0$). Тогда в установившемся режиме для якорной цепи справедливо уравнение

(2.4)

$U = R_я I_я + E$,

где $U, ~ I_я, ~ E$ – установившиеся значения напряжения, тока и э.д.с. якоря. Раскрывая в (2.4) э.д.с. согласно (2.3) и решая полученное уравнение относительно $ω$, получаем

(2.5)

$ω = U / (K Φ) - R_я I_я / (K Φ)$.

Уравнение (2.5) связывает механическую ($ω$) и электрическую ($I_я$) координаты и поэтому называется электромеханической характеристикой.

Электромагнитный момент двигателя связан с током якоря соотношением

(2.6)

$M = K Φ I_я$.

С учетом (2.6) выражение (2.5) может быть представлено в виде

(2.7)

$ω = U / (K Φ) - R_я · M / (K Φ)^2$.

Выражение (2.7) связывает две механические координаты $ω$ и $M$, как мы отмечали в гл. 1, оно называется механической характеристикой двигателя.

Полученные уравнения показывают, что обе характеристики линейны. Точку их пересечения с осью ординат называют скоростью холостого хода, которая определяется выражением

(2.8)

$ω_0 = U / (K Φ)$.

Точку пересечения электромеханической характеристики с осью абсцисс называют пусковым током, который определяется выражением

(2.9)

$I_п = U / R_я$.

Точку пересечения механической характеристики с осью абсцисс называют пусковым моментом, который определяется выражением

(2.10)

$M_п = K Φ I_п = K Φ · U / R_я$.

Так как механическая характеристика линейна, то ее жесткость постоянна во всем рабочем диапазоне и определяется по соотношению

(2.11)

$β = ∂M/∂ω = -M_п / ω_0 = -(K Φ)^2 / R_я$.

Если обе части уравнений (2.5) и (2.7) разделить на скорость холостого хода, то получим уравнения электромеханической и механической характеристик, представленные в относительных единицах:

(2.12)

$ν = 1 - i$,

(2.13)

$ν = 1 - μ$,

где

(2.14)

$i = I / I_п, \quad ν = ω / ω_0, \quad μ = M / M_п$

– относительные значения соответственно тока, скорости и момента.

Электромеханическая и механическая характеристики существуют во всех четырех квадрантах плоскостей параметров $ω$, $M$ и $ω$, $I_я$. На рис. 2.2 они изображены в первом квадранте.

png-file, 12 KB

Рис. 2.2. Механическая и электромеханическая характеристики:
а) в абсолютных; б) в относительных единицах

Характеристики, полученные при номинальных значениях напряжения и потока и при отсутствии добавочного сопротивления в цепи якоря, называют естественными. При изменении напряжения или потока, а также при введении добавочного сопротивления в цепь якоря мы получаем искусственные характеристики. Зная, как изменяются характеристики при изменении перечисленных параметров, т.е. зная вид искусственных характеристик, мы можем оценить регулировочные свойства двигателя, поэтому рассмотрим подробнее искусственные характеристики. Для этого достаточно определить, как изменяются скорость холостого хода, пусковой ток и пусковой момент ($ω_0,~I_п,~M_п$) при изменении напряжения, активного сопротивления в цепи якоря и потока ($U,~R_д,~Φ$).

При понижении напряжения от номинального ($U↓$), согласно (2.8) – (2.10) пропорционально изменяются скорость холостого хода, пусковой ток и пусковой момент, поэтому искусственные характеристики для этого случая будут выглядеть, как показано на рис. 2.3.а. Отметим, что характер изменения электромеханической и механической характеристик при этом одинаковый.

При введении добавочного сопротивления в цепь якоря ($R_д↑$), согласно тем же выражениям, скорость холостого хода остается неизменной, а пусковой ток и момент уменьшаются. Характер изменения электромеханической и механической характеристик одинаков, а их вид представлен на рис. 2.3.б.

При уменьшении потока от номинального ($Φ↓$) – остается неизменным только пусковой ток. Скорость холостого хода увеличивается, а пусковой момент уменьшается, поэтому вид электромеханической и механической характеристик разный, как это показано на рис. 2.3.в.

png-file, 12 KB

Рис. 2.3. Искусственные характеристики:
а) при изменении напряжения на якоре;
б) при изменении сопротивления в цепи якоря

2.1.2. Режимы работы

Если в уравнении механической характеристики (2.7) изменять напряжение в интервале ($+U_н, ~ -U_н$), то при различных значениях скорости и момента мы получим семейство механических характеристик, расположенных во всех четырех квадрантах плоскости параметров $ω,~M$ (рис. 2.4). В квадрантах 1 и 3 имеем двигательный режим, так как здесь электромагнитная мощность двигателя положительна – $P = Mω \gt 0$, а в квадрантах 2 и 4 реализуются тормозные (генераторные) режимы, так как здесь $P \lt 0$. Причем, если двигательный режим один (область его существования отмечена горизонтальной штриховкой), то тормозных режимов несколько. Рассмотрим их.

Из теории электрических машин известно, что генераторный режим имеет место в том случае, если э.д.с. и ток двигателя одного знака. Согласно (2.4) имеем

(2.15)

$I_я = (U - E) / R_я$.

png-file, 12 KB

Рис. 2.4. Области существования режимов работы привода

Отсюда можно заключить, что ток и э.д.с. будут одного знака в трех случаях:

Режим, соответствующий первому условию, называют рекуперативным торможением. Он возникает в том случае, если скорость двигателя под действием внешнего момента, возникающего при торможении рабочего органа, превысит скорость холостого хода, т.е. рабочая точка привода по механической характеристике перейдет из квадранта 1 в квадрант 2, либо из квадранта 3 в квадрант 4 (рис. 2.4). Область существования режима рекуперативного торможения отмечена вертикальной штриховкой. При этом двигатель работает как обычный генератор постоянного тока, его механическая и электромеханическая характеристики описываются теми же уравнениями (2.5) и (2.7). Уравнение баланса мощностей имеет вид

(2.16)

$P_э = P_м - ΔP$,

где: $P_м$ – механическая мощность, поступающая от рабочего органа, $P_э$ – мощность, генерируемая двигателем, $ΔP$ – потери мощности в обмотке якоря.

В соответствии с выражением (2.16) механическая энергия торможения рабочего органа частично возвращается в сеть, а частично рассеивается в виде потерь в двигателе.

Режим, соответствующий второму условию называют динамическим торможением. Физически он реализуется путем отключения двигателя от сети и закорачивания обмотки якоря, либо включения ее на добавочное активное сопротивление. В первом случае рабочая точка привода оказывается на линии механической характеристики при $U = 0$, которая является механической характеристикой режима динамического торможения при $R_д = 0$. Во втором случае уравнение механической характеристики двигателя при динамическом торможении имеет вид

(2.17)

$ω = -(R_я + R_д) · M / (K Φ)^2$.

Следовательно, в обоих случаях механические характеристики проходят через начало координат и отличаются только жесткостью.

Уравнение баланса мощностей для динамического торможения имеет вид

(2.18)

$P_м = ΔP$.

Согласно этому уравнению механическая энергия торможения рассеивается в виде электрических потерь на добавочном сопротивлении и в обмотке якоря.

Режим, соответствующий третьему условию, называют противовключением. Физически он реализуется, если под действием момента со стороны рабочего органа двигатель начнет вращаться в обратную сторону, т.е. рабочая точка перейдет по механической характеристике из квадранта 1 в квадрант 4 или из квадранта 3 в квадрант 2. Режим противовключения возникает также, если в работающем двигателе изменить полярность напряжения на якорной обмотке. Тогда за счет инерции вращающихся частей какое-то время якорь будет вращаться в сторону, противоположную направлению момента. Отсюда и название режима. Область существования режима противовключения отмечена наклонной штриховкой.

Уравнение механической характеристики имеет вид

(2.19)

$ω = -(U / (K Φ) + R_я · M / (K Φ)^2)$.

При переключении полярности напряжения в обмотке якоря может возникнуть большой ток, определяемый выражением

$I_я = -(U + E) / R_я$,

поэтому необходимо предусматривать меры по его ограничению, например, путем введения добавочного сопротивления в цепь якоря или используя устройства ограничения тока в преобразователях напряжения, от которых питается двигатель.

Уравнение баланса мощностей имеет вид

(2.20)

$P_м + P_э = ΔP$.

В соответствии с этим уравнением при торможении противовключением механическая энергия торможения и электрическая энергия, потребляемая двигателем, преобразуются в электрические потери.

2.1.3. Способы регулирования момента и скорости

В данном случае имеется в виду регулирование одной из механических координат (скорости или момента) путем изменения определенных параметров двигателя. В п. 2.1.1 мы выяснили, что такими параметрами для двигателя постоянного тока независимого возбуждения являются напряжение на обмотке якоря $U$, сопротивление якорной цепи $R_я$ и поток возбуждения $Φ$. Напряжение на якоре мы можем менять с помощью преобразователя напряжения, сопротивление якорной цепи путем введения регулируемого сопротивления в цепь якоря, а поток – путем изменения напряжения питания обмотки возбуждения. Обычно рассматривают регулирование одной координаты ($M$ или $ω$), считая другую постоянной.

В данном пункте рассмотрим статические регулировочные свойства, для оценки качества которых существуют объективные показатели, такие как: диапазон регулирования

$D = y_{max} / y_{min}$,

где $y_{max}, ~ y_{min}$ – соответственно максимальное и минимальное значение регулируемой координаты, которые можно обеспечить в процессе регулирования; линейность регулирования

$L = dy/dx$,

где $x$ – изменяемый параметр; энергетическая эффективность регулирования, под которой в данном случае будем понимать электромагнитный к.п.д.

Предполагая только один параметр при постоянных других, рассмотрим регулировочные характеристики при различных способах регулирования.

Регулирование путем изменения напряжения

Примем $R_д = 0, ~ Φ = Φ_н = \const, ~ U = \var$. Так как в этом случае напряжение на якоре может отличаться от номинального, то механическая характеристика в относительных единицах запишется выражением несколько отличным от (2.13):

(2.21)

$ν = u - μ$,

где $u = U / U_н$ – относительное значение напряжения на якорной обмотке.

В соответствии с выражением (2.21) при регулировании скорости и $μ = \const$ характеристики имеют вид – рис. 2.5. В данном случае и далее, при построении характеристик предполагается реактивный характер момента на валу двигателя.

png-file, 12 KB

Рис. 2.5. Регулировочные характеристики при изменении напряжения на якоре

Из уравнения (2.21) нетрудно найти диапазон регулирования скорости $ν \in [0,(1-μ)]$ при изменении регулирующей координаты в диапазоне $u \in [μ,\,1]$. Передаточный коэффициент регулирования $k_ν=Δν/Δu=1$ или, переходя к абсолютным величинам, получим:

$1 = ω / ω_0 × U_н / U$.

Отсюда

(2.22)

$k_ω = ω / U = ω_0 / U_н = 1 / (K Φ)$.

Теперь примем скорость постоянной ($ν = \const$) и рассмотрим регулирование момента. Согласно (2.21) при этом регулировочные характеристики имеют тот же вид, что и при регулировании скорости (рис. 2.5), диапазон регулирования момента равен $μ \in [0,(1-ν)]$ при изменении регулирующей координаты в диапазоне $u \in [ν,\,1]$. Передаточный коэффициент регулирования $k_μ = Δμ/Δu = 1$. Перейдя к абсолютным величинам, получим

$1 = M U_н / M_п U$.

Отсюда

(2.23)

$k_μ = M / U = K Φ / R_я$.

Для оценки энергетической эффективности в процессе регулирования рассмотрим как меняется электромагнитный к.п.д. двигателя, который в общем случае определяется отношениями

(2.24)

$η_э = P_э / P_п = M ω / (U I) = K Φ I ω / (K Φ ω_0 I) = ω / ω_0 = \piv$,

где $P_э, ~ P_п$ – соответственно электромагнитная и потребляемая мощность двигателя, $\piv$ – относительная скорость. Выше мы уже обозначали относительную скорость через $ν$:

(2.25)

$ν = ω / ω_{0н}$,

где $ω_{0н}$ – скорость холостого хода при питании двигателя номинальным напряжением.

Из (2.24) и (2.25) с учетом (2.8) получим

(2.26)

$\piv = ν / u$,     $ν = \piv u$.

Подставим $ν$ из (2.26) в (2.21) и с учетом (2.24) получим

(2.27)

$η_э = \piv = 1 - μ / u$.

Нетрудно на основе тех же исходных соотношений представить выражение для электромагнитного к.п.д. в другом виде:

(2.28)

$η_э = \piv = ν / (ν + μ)$.

Выражения (2.27) и (2.28) позволяют определить, как изменяется к.п.д. двигателя в процессе регулирования.

Регулирование изменением сопротивления в цепи якоря

Примем $U = U_н = \const, ~ Φ = Φ_н = \const$, а сопротивление якорной цепи представим соотношением

$R_{яц} = R_я + R_д$.

Подставим $R_{яц}$ в уравнение механической характеристики (2.7) вместо $R_я$ и получим

$ω = U_н / (K Φ_н) - (R_я + R_д) · M / (K Φ_н)^2$.

Запишем полученное уравнение механической характеристики в относительных единицах

(2.29)

$ν = 1 - (1 + r) μ$,

где $r = R_д / R_я$ – относительное значение добавочного сопротивления в цепи якоря.

Если принять $μ = \const$, то уравнение (2.29) является характеристикой регулирования скорости. Можно отметить, что это характеристика линейна и имеет вид (рис. 2.6.а).

png-file, 12 KB

Рис. 2.6. Регулировочные характеристики при изменении сопротивления в цепи якоря

Диапазон изменения скорости $ν \in [0,(1-μ)]$. При этом регулирующий параметр должен изменяться в диапазоне $r \in [(1-μ)/μ,\,0]$. Передаточный коэффициент регулирования

(2.30)

$k_ν = Δν/Δr = -μ$.

Теперь примем $ν = \const$ и перепишем уравнение (2.29) в виде

(2.31)

$μ = (1 - ν) / (1 + r)$.

Уравнение (2.31) является характеристикой регулирования момента. Можно отметить, что она нелинейна и имеет вид рис. 2.6.б. При увеличении сопротивления в цепи якоря момент уменьшается, асимптотически приближаясь к нулю. Диапазон изменения момента $μ \in [0,(1-ν)]$ при изменении регулирующей координаты в диапазоне $r \in [∞,\,0]$. Передаточный коэффициент регулирования можно получить только для линеаризованной характеристики. Для малых отклонений координат имеем

(2.32)

$k_μ = Δμ/Δr = dμ/dr_{r=r_0} = -(1 - ν) / (1 + r_0)^2$,

где $r_0$ – исходное значение регулирующего параметра, относительно которого рассматриваются малые отклонения.

Учитывая, что в данном случае $η_э = ν$, уравнение (2.29) может быть использовано для определения электромагнитного к.п.д. двигателя в процессе регулирования.

Регулирование потоком возбуждения

Примем в уравнении (2.7) $U=U_н=\const, ~ R_д=0, ~ Φ=\var$, т.е. поток может уменьшаться от номинального. Тогда, переходя к относительным единицам, получим:

(2.33)

$ν = 1 / f - μ / f^2$,

где $f=Φ/Φ_н$ – относительное значение потока.

При регулировании скорости примем $μ = \const$. Тогда выражение (2.33) можно считать регулировочной характеристикой, которая является существенно нелинейной. Общий вид регулировочных характеристик представлен на рис. 2.7.а. Из рисунка видно, что характеристика имеет перегиб. Максимальное значение скорости соответствует точке перегиба, определим, как и ранее, известным поиском экстремума функции, т.е. из уравнения $dν/df=0$. В результате получим $ν_m=1/(4μ)$ при значении регулирующего параметра $f_m=2μ$.

png-file, 12 KB

Рис. 2.7. Регулировочные характеристики при изменении потока

Передаточный коэффициент для режима малых отклонений определяется по выражению

(2.34)

$k_ν = dν/df_{f=f_0} = ( f_0 - 2 ( f_0 - μ)) / f_0^3$,

где $f_0$ – значение управляющей координаты, относительно которой рассматриваются отклонения.

Обычно работают справа от точки перегиба, при уменьшении потока увеличивается скорость двигателя. Тогда диапазон регулирования скорости равен $ν \in [(1-μ), \, 1/(4μ)]$ при изменении регулирующего параметра в диапазоне $f \in [1, \, 2μ]$.

Для описания характеристики регулирования момента в (2.33) примем $ν = \const$ и перепишем уравнение в виде

(2.35)

$μ = f · (1 - ν f)$.

Регулировочная характеристика имеет вид (рис. 2.7.б). Координаты точки перегиба определим тем же способом. Они равны $μ_m=1/(4ν)$, $f_m=1/(2ν)$. Регулирование момента можно осуществлять в диапазоне $μ \in [0, \, 1/(4ν)]$ при изменении регулирующего параметра в диапазоне $f \in [0, \, 1/(2ν)]$. Передаточный коэффициент регулирования в режиме малых отклонений

(2.36)

$k_μ = 1 - 2 ν f_0$.

Для оценки энергетических показателей регулирования найдем, как связаны относительные скорости $ν$ и $\piv$ в данном случае. Эту связь просто найти из соотношения

(2.37)

$ν = ω ω_0 / (ω_0 ω_{0н}) = \piv × U_н / (K Φ) × K Φ_н / U_н = \piv / f$.

Подставляя $ν$ из (2.37) в (2.33) с учетом (2.24), получаем:

(2.38)

$η_э = \piv = ν f = 1 - μ / f$.

Подставляя в (2.38) полученные ранее предельные значения регулирующей координаты при известных значениях относительного момента, мы можем определить диапазон изменения к.п.д. двигателя.

Сравнительная оценка способов регулирования

Сравнения проведем по линейности регулировочных характеристик и по электромагнитному к.п.д. двигателя. По виду регулировочных характеристик (рис. 2.5 – 2.7) можно заключить, что при регулировании момента и скорости путем изменения напряжения на обмотке якоря они линейные. При регулировании изменением сопротивления якорной цепи линейна скоростная характеристика и нелинейная характеристика регулирования момента. Наконец, при регулировании потоком нелинейные обе характеристики. При этом возможно даже изменение знака передаточного коэффициента регулирования. Кроме того, необходимо учесть, что регулирование потока возможно только изменением тока возбуждения. Но, как известно, зависимость потока от тока возбуждения также нелинейная, что еще больше усугубляет общую нелинейность регулирования.

Для сравнительной оценки способов регулирования по энергетическим показателям запишем соответствующие им механические характеристики в виде:

при регулировании напряжением

(2.39)

$ω = U / (K Φ_н) - R_я · M / (K Φ_н)^2$;

при регулировании сопротивлением

(2.40)

$ω = U_н / (K Φ_н) - R_я · M / (K Φ_н)^2 - R_д · M / (K Φ_н)^2$;

при регулировании потоком

(2.41)

$ω = U_н / (K Φ) - R_я · M / (K Φ)^2$,

где: $U,~R_д,~Φ$ – регулирующие координаты; $ω,~M,~U_н,~K$ – постоянные параметры, одинаковые для всех трех выражений. На основании уравнения (2.24), принимая во внимание, что

$U \lt U_н, \quad Φ \lt Φ_н$,

можно заключить:

$(η_{э1} = \piv_1 = ω/ω_{01} = ω K Φ_н / U)$ > $(η_{э2} = ω/ω_{02} = ω K Φ_н / U_н)$,
$η_{э1} \gt (η_{э3} = ω K Φ / U_н)$,   $η_{э2} \gt η_{э3}$.

Таким образом, по энергетическим показателям лучшим является регулирование изменением якорного напряжения, т.е. и по линейности характеристик, и по энергетическим показателям предпочтительным является якорное управление, которое и получило наибольшее распространение в автоматическом приводе. Регулирование изменением сопротивления может быть рекомендовано в маломощных приводах, где потери на добавочном сопротивлении не вызывают особых проблем с теплоотводом и не приводят к значительным потерям энергии. Регулирование изменением потока возбуждения рекомендовано при скорости двигателя выше номинальной и сочетается с якорным регулированием. Такое сочетание называют двухзонным регулированием: первая зона со скоростью до номинальной – якорное управление, вторая зона со скоростью выше номинальной – управление потоком возбуждения.

2.1.4. Динамические характеристики

Для описания динамических свойств двигателя используем систему уравнений (2.1) – (2.2), (2.3), (2.6) и (1.18), которые после преобразований представим в виде:

$u_в = (1 + T_в p) i_в R_в$,          

(2.42)

$u_я = (1 + T_я p) i_я R_я + K Φ ω$,

$J dω/dt = K Φ i_я - M_с$,          

где: $p=d/dt$ – оператор дифференцирования; $T_в=L_в/R_в$, $T_я=L_я/R_я$ – электромагнитные постоянные времени обмотки возбуждения и якорной обмотки соответственно. Полученную систему уравнений необходимо дополнить уравнением связи потока двигателя с током возбуждения. Как известно из теории электрических машин, из-за влияния насыщения магнитной системы эта связь нелинейная и имеет вид рис. 2.8.а. С целью лучшего использования железа машина проектируется так, чтобы в номинальном режиме рабочая точка находилась на перегибе кривой намагничивания.

png-file, 12 KB

Рис. 2.8. Реальная и аппроксимированная зависимости потока от тока возбуждения

Для аналитического описания модели заменим реальную кривую намагничивания аппроксимированной (рис. 2.8.б). Тогда зависимость потока от тока возбуждения можно записать выражениями:

(2.43)

$Φ = k_1 i_в$   если $|i_в| ≤ |i_н|$,

$Φ = Φ_н$   если $|i_в| \gt |i_н|$.          

На основании системы уравнений (2.42) и (2.43) структурную схему двигателя постоянного тока как динамической системы можно представить в виде рис. 2.9.

png-file, 12 KB

Рис. 2.9. Полная структурная схема двигателя постоянного тока
как динамической системы

Из структурной схемы можно заключить, что двигатель постоянного тока является существенно нелинейной системой, имеющей два типа нелинейности – ограничение и умножение. Входными координатами, которыми осуществляется управление, являются $U_я$ и $U_в$.

На практике чаще всего используют упрощенную модель. Это объясняется тем, что в автоматическом приводе в основном используется якорное управление, более того, все большее применение находят двигатели с возбуждением от постоянных магнитов. При этом поток двигателя можно считать постоянным и структурная схема двигателя получает вид рис. 2.10.

png-file, 12 KB

Рис. 2.10. Структурная схема двигателя при постоянном потоке

Из этой структурной схемы можно найти передаточные функции двигателя по управлению $W_1(p)=ω(p)/U(p)$, $W_2(p)=M(p)/U(p)$ и по возмущению $W_3(p)=ω(p)/M_с(p)$. Для этого воспользуемся известными правилами преобразования структурных схем. В результате получим

(2.44)

png-file, 12 KB.

Назовем $T_м=JR_я/(KΦ)^2$ механической постоянной времени двигателя и напомним, что $k_ω=1/(KΦ)$ – передаточный коэффициент двигателя по управлению при регулировании скорости. С учетом принятых обозначений имеем:

(2.45 а)

png-file, 12 KB,

(2.46 а)

png-file, 12 KB,

(2.47 а)

png-file, 12 KB,

где $k_μ=KΦ/R_я$ – передаточный коэффициент двигателя по управлению при регулировании момента, $k_в=-R_я/(KΦ)^2$ – передаточный коэффициент по возмущению.

Можно отметить, что полученные в предыдущем пункте коэффициенты $k_ω$ и $k_μ$, из выражений (2.22) и (2.23) совпадают с их значениями, полученными методом структурных преобразований в настоящем пункте.

По виду передаточных функций можно заключить, что двигатель является динамическим звеном второго порядка. Известно, что переходные процессы в таком звене будут апериодическими, если корни его характеристического уравнения вещественные, и колебательными, если корни комплексные. Напомним, что корни характеристического уравнения находятся путем приравнивания нулю знаменателя передаточной функции. Отсюда имеем

(2.48)

png-file, 12 KB.

С учетом последнего выражения можно отметить, что переходный процесс будет апериодическим, если $T_м \gt 4T_я$. В противном случае переходный процесс колебательный, что в реальности практически не встречается. Можно отметить также, что при выполнении условия $T_м ≥ 10T_я$ с достаточной степенью точности характеристическое уравнение можно представить в виде произведения двух полиномов, т.е. передаточные функции могут быть записаны в виде

(2.45 б)

png-file, 12 KB.

Запись передаточных функций двигателя в виде (2.45.б) оказывается удобной при синтезе систем управления приводом и пригодится нам позже.

В некоторых случаях постоянной времени якорной цепи можно пренебречь. Тогда двигатель можно представить динамическим звеном первого порядка, а передаточные функции получат вид:

(2.45 в)

$W_1(p)=k_ω / (T_м p + 1)$,

(2.46 б)

$W_2(p)=k_μ T_м p / (T_м p + 1)$,

(2.47 б)

$W_3(p)=k_в / (T_м p + 1)$.

По структурной схеме двигателя (рис. 2.10) можно также составить дифференциальное уравнение движения привода, решение которого даст уравнения переходных процессов для скорости, момента и тока. В частности, если выполняется условие $T_м ≥ 10T_я$, но постоянной времени якорной цепи пренебречь нельзя, скорость двигателя изменяется в соответствии с выражением

(2.49)

$ω = ω_{уст} + C_1 e^{h_1t} + C_2 e^{h_2 t}$,

где

$ω_{уст} = U / (K Φ) - R_я · M_с / (K Φ)^2$,

(2.50)

$C_1 = -(h_2 (ω_н - ω_{уст}) - ε_н) / (h_1 - h_2)$,

(2.51)

$C_2 = (h_1 (ω_н - ω_{уст}) - ε_н) / (h_1 - h_2)$,

$ω_н$ и $ε_н$ – начальное значение скорости и ускорения.

Продифференцировав обе части уравнения (2.49), найдем закон изменения ускорения:

(2.52)

$ε = h_1 C_1 e^{h_1 t} + h_2 C_2 e^{h_2 t}$.

В соответствии с уравнениями (1.18) и (2.6) момент и ток связаны с ускорением соотношениями

(2.53)

$M = ε J + M_с$,

(2.54)

$i_я = (ε J + M_с) / (K Φ) = ε J / (K Φ) + I_с$,

где $I_с$ – установившееся значение тока, соответствующее моменту сопротивления на валу двигателя. В уравнения (2.50) и (2.51) мы можем подставлять начальное значение ускорения, выраженное согласно (2.53) и (2.54) через начальный момент или через начальный ток. Кривые переходного процесса при пуске двигателя, т.е. при нулевых начальных условиях представлены на рис. 2.11.

png-file, 12 KB

Рис. 2.11. Кривые переходных процессов: а) скорости; б) тока при пуске двигателя

Если постоянной якорной цепи можно пренебречь ($T_я = 0$), то скорость двигателя изменяется по уравнению

(2.55)

$ω = ω_{уст} (1 - e^{-t / T_м}) + ω_н e^{-t / T_м}$,

а ускорение по уравнению

(2.56)

$ε = e^{-t / T_м} (ω_{уст} - ω_н) / T_м$.

Кривые переходных процессов для этого случая представлены на том же рис. 2.11.

2.2. Электромеханические свойства коллекторных двигателей последовательного и смешанного возбуждения

Коллекторные двигатели последовательного возбуждения чаще применяются в неуправляемых электроприводах. Их достоинством является возможность одновременного обеспечения большого пускового момента и высокой скорости холостого хода, что способствует их применению в качестве тяговых двигателей на транспорте или исполнительных двигателей механизмов с широким диапазоном скоростей. В последнее время такие двигатели находят применение в бытовой технике. Например, в приводе барабана стиральной машины, где эти двигатели используются и как управляемые.

2.2.1. Электромеханические характеристики

Схема замещения двигателя в первом приближении может быть представлена в виде рис. 2.12, где, кроме обозначений, принятых в предыдущем параграфе, обозначено $R_{вт}$, $L_{вт}$ – активное сопротивление и индуктивность короткозамкнутого контура вихревых токов.

png-file, 12 KB

Рис. 2.12. Схема замещения двигателя постоянного
тока последовательного возбуждения

Из теории электрических машин известно, что вихревые токи образуются в полюсах и в магнитопроводе двигателя при быстром изменении потока. В двигателях большой мощности влияние короткозамкнутого контура на динамические свойства может оказаться существенным. Однако для рассматриваемого класса приводов с мощностью до нескольких киловатт этим влиянием можно пренебречь. Тогда, в соответствии со схемой замещения и с учетом выражения (2.3), уравнение напряжения якорной цепи получит вид

(2.57)

$U_я = K Φ ω + i_я R_{яс} + L_{яс} × di_{яс}/dt + w_в × dΦ/dt$,

где $R_{яс} = R_я + R_в$, $L_{яс} = L_я + L_в$, $w_в$ – число витков обмотки возбуждения.

В отличие от двигателей независимого возбуждения здесь магнитный поток является функцией тока якоря. Как мы отмечали, эта зависимость нелинейная, поэтому нелинейная и механическая характеристика, которую для реальной зависимости потока от тока (см. рис. 2.8.а) вообще трудно выразить аналитически. Для того, чтобы представить электромеханические характеристики в аналитической форме, заменим, как мы делали в предыдущем параграфе, реальную зависимость потока от тока аппроксимированной, вида (см. рис. 2.8.б). Тогда в установившемся режиме при $i_я ≤ I_{нс}$, где $I_{нс}$ – ток двигателя, при котором наступает насыщение магнитной системы, из уравнения (2.57) с учетом (2.6) и (2.43.а) получим уравнения электромеханической:

(2.58)

$ω = U_я / (K k_1 I_я) - R_{яс} / (K k_1)$

и механической характеристик:

(2.59)

png-file, 12 KB

Здесь $k_1$ – коэффициент, связывающий поток двигателя с током якоря ($Φ = k_1 I_я$).

При $i_я \gt I_{нс}$ из-за насыщения системы согласно (2.43.б) поток условно можно принять постоянным, как и в двигателе независимого возбуждения, поэтому для описания характеристик с определенной степенью приближения справедливы выражения (2.5) и (2.7). Электромеханические характеристики двигателя имеют вид (рис. 2.13).

png-file, 12 KB

Рис. 2.13. Механические характеристики двигателя последовательного возбуждения

Согласно рис. 2.13 жесткость механической характеристики двигателя последовательного возбуждения – переменная. Для ее оценки при $M \lt M_{нс}$, где $M_{нс}$ – момент при котором наступает насыщение магнитной системы, воспользуемся выражением (2.59). Откуда, согласно определению жесткости, получим

(2.60)

png-file, 12 KB.

При $M ≥ M_{нс}$ жесткость приближенно определяется выражением (2.11), где поток необходимо принять равным потоку насыщения магнитной системы.

Изложенная методика представления статических характеристик является довольно грубым приближением и удобна тем, что просто дает качественное представление о них. Для точного расчета необходимо использовать универсальные характеристики, приведенные в каталогах.

2.2.2. Режимы работы

Мы рассмотрели характеристики в двигательном режиме. Из рассмотренных для двигателя независимого возбуждения тормозных режимов в данном случае могут быть реализованы не все. Действительно, согласно (2.58) скорость холостого хода двигателя стремится к бесконечности, следовательно, режим рекуперативного торможения невозможен.

Динамическое торможение может быть осуществлено двумя способами – с самовозбуждением и с независимым возбуждением. В первом случае двигатель отключается от сети и включается на резистор. Для возникновения режима самовозбуждения необходимо выполнение двух условий. Во-первых, чтобы исключить размагничивание машины, при переходе от двигательного режима к генераторному необходимо оставить неизменным направление тока в обмотке возбуждения. Указанное условие вытекает из того, что самовозбуждение двигателя возникает за счет явления остаточной намагниченности полюсов при нулевом токе возбуждения. Эта намагниченность обусловлена явлением гистерезиса при перемагничивании стали. Из-за остаточной намагниченности полюсов при вращении якоря в его обмотке наводится э.д.с., под влиянием которой в якорной цепи, куда входит и обмотка возбуждения, протекает ток. Если поток от этого тока будет совпадать с потоком от остаточной намагниченности, то э.д.с. двигателя будет увеличиваться, т.е. двигатель перейдет в генераторный режим. В противном случае ток, обусловленный остаточной э.д.с., размагнитит двигатель до нулевого потока и генераторный режим не возникнет.

Во-вторых, для возникновения самовозбуждения необходимо, чтобы зависимость $E_я(I_я)$, при скорости на которой реализуется тормозной режим, и вольтамперная характеристика сопротивления, включенного в якорную цепь $U_r(I_я)$, пересекались не только в начале координат. Например, для характеристик, представленных на рис. 2.14, при скорости $ω_1$ самовозбуждение возникает, а при $ω_2$ – не возникает.

png-file, 12 KB

Рис. 2.14. К пояснению условий возникновения режима самовозбуждения

Торможение с независимым возбуждением осуществляется путем отключения обмотки возбуждения от якорной цепи и подключения ее к источнику питания. Недостатком такого способа является необходимость обеспечения тока возбуждения, равного номинальному при небольшом напряжении, для чего требуется специальный источник, поэтому такой способ торможения практически не используется.

2.2.3. Способы регулирования момента и скорости

Так как поток в данном двигателе не может регулироваться независимо, здесь возможны только два способа регулирования: изменением сопротивления в цепи якоря и изменением напряжения. Выше мы уже отмечали низкую эффективность регулирования двигателей постоянного тока по энергетическим показателям при регулировании путем изменения сопротивления в якорной цепи, поэтому подробно рассмотрим регулирование изменением напряжения. Семейство искусственных характеристик для этого случая представлено на рис. 2.13.

При регулировании скорости примем $U=\var$, $M=\const$. Тогда регулировочная характеристика, при $M \lt M_{нс}$, получит вид

(2.61)

$ω = a u + b$,

где $a = 1 / \sqrt(Kk_1M)$, $b=R_{яс}/(Kk_1)$. А при $M≥M_{нс}$ – описывается выражением (2.21).

Таким образом, имеем уравнения того же вида, что и для двигателей независимого возбуждения. Регулирующий параметр изменяется в интервале $u=[b/a,U_н]$. Передаточный коэффициент определяется выражением

(2.62)

png-file, 12 KB.

Теперь примем $U = \var$, $ω = \const$ и из уравнения (2.59) при $M \lt M_н$ получим

(2.63)

$M = u^2 d$,

где

(2.64)

$d = 1 / (K k_1 (ω + R_{яс} / K k_1)^2)$.

Если двигатель находится в насыщении, регулировочные характеристики приближенно могут быть представлены выражением (2.21).

Для определения электромагнитного к.п.д. двигателя из уравнения (2.58) найдем ток якоря:

$I_я = U_я / (ω K k_1 + R_{яс})$.

Мощность, потребляемая двигателем, и электромагнитная мощность определяется выражениями, соответственно

$P_п = U_я I_я = U^2 / (ω K k_1 + R_{яс})$,

$P_э = E I_я = K k_1 I_я ω I_я = K k_1 ω U_я^2 / (K k_1 ω + R_{яс})^2$.

Отсюда

(2.65)

$η_э = P_э / P_п = ω K k_1 / (ω K k_1 + R_{яс})$.

Можно отметить, что по энергетическим показателям двигатели последовательного возбуждения чаще всего проигрывают двигателям независимого возбуждения. Это объясняется тем, что активное сопротивление якорной цепи, куда входит и обмотка возбуждения, в первом случае много больше, чем во втором. Кроме того, двигатели независимого возбуждения могут быть выполнены на основе постоянных магнитов, тогда энергия для возбуждения из сети не потребляется, что способствует увеличению общего к.п.д.

Напомним, что рассмотренные нами характеристики, полученные на основе аппроксимированной кривой намагничивания, являются приближенными и пригодны лишь для качественного анализа процессов.

2.2.4. Динамические характеристики

Из уравнения (2.57) с учетом (2.6) тем же методом, что и для двигателя независимого возбуждения получим структурную схему динамической модели двигателя, представленную на рис. 2.15, где обозначено $T_я=L_{яс}/R_{яс}$. Мы видим, что полученная структурная схема отличается от схемы (см. рис. 2.9) наличием дополнительной связи по производной от потока и зависимостью потока от тока якоря. В связи с эти поток всегда переменный и динамическая модель нелинейная во всех случаях.

png-file, 12 KB

Рис. 2.15. Полная структурная схема двигателя
последовательного возбуждения как динамической системы

Линеаризовать ее можно только в режиме малых отклонений переменных, принимая $I_я=I_{я0}+Δi_я$, $U_я=U_{я0}+ΔU_я$, $ω=ω_0+Δω$, $M=M_0+ΔM$, $Φ=Φ_0+ΔΦ$, где значения координат с индексом ноль означают их исходное состояние, относительно которого рассматриваются отклонения. Для этого считаем, что $|Φ| \lt |Φ_{нс}|$, а нелинейные элементы типа произведение линеаризуем известными в математике методами, представив их в виде

(2.66)

$ΔM(ΔΦ,Δi_я) \cong K Φ_0 Δi_я + K i_{я0} ΔΦ = 2K k_1 i_{я0} Δi_я$,

(2.67)

$Δe(ΔΦ,Δi_я) \cong K Φ_0 Δω + K ω_0 ΔΦ = K k_1 i_{я0} Δω + K k_1 ω_0 Δi_я$.

Преобразованная с учетом (2.66), (2.67) структурная схема имеет вид рис. 2.16.

png-file, 12 KB

Рис. 2.16. Структурная схема линеаризованной динамической
модели двигателя последовательного возбуждения

Известными методами структурных преобразований эту схему нетрудно привести к виду (рис. 2.17), где обозначено png-file, 12 KB – электромагнитная постоянная времени якорной цепи.

png-file, 12 KB

Рис. 2.17. Преобразованная структурная схема линеаризованной динамической модели

Из полученной структурной схемы несложно получить передаточные функции двигателя по управлению и по возмущению:

(2.68)

png-file, 12 KB

(2.69)

png-file, 12 KB

(2.70)

png-file, 12 KB

где

$k_ω = 1 / (2 K Φ_0)$,
$k_μ = 2 K Φ_0 / (R_{яс} + K k_1 ω_0)$,
$k_в = (R_{яс} + K k_1 ω_0) / (K Φ_0)$,
$T_м^1 = J (R_{яс} + K k_1 ω_0) / (2 (K Φ_0)^2)$.

Таким образом, в режиме малых отклонений переходные процессы в двигателе последовательного возбуждения, если не учитывать контур вихревых токов, не отличаются от переходных процессов двигателя независимого возбуждения, хотя при больших отклонениях координат, например при пуске, различие может быть существенным. Расчет переходных процессов при больших отклонениях координат необходимо вести путем точного моделирования всех нелинейностей, включая и кривую намагничивания.

2.3. Электромеханические характеристики двигателей смешанного возбуждения

Двигатель смешанного возбуждения, как известно из теории электрических машин, имеет две обмотки возбуждения: независимую и последовательную. Для расчета электромагнитных характеристик здесь используют обычно, так же как и у двигателей последовательного возбуждения, естественные универсальные характеристики момента и скорости от тока якоря.

Эти двигатели имеют конечное значение скорости холостого хода, которая определяется м.д.с. независимой обмотки. Торможение двигателей может быть осуществлено всеми тремя рассмотренными для двигателей независимого возбуждения способами. Регулирование осуществляется, главным образом, путем изменения напряжения якоря. Электромеханические и регулировочные характеристики так же, как и энергетические показатели, занимают промежуточное положение между характеристиками двигателей независимого и последовательного возбуждения.