Воронин Сергей Григорьевич

Глава 3. Электромеханические свойства двигателей переменного тока

Машины переменного тока имеют существенное преимущество перед коллекторными двигателями постоянного тока – они могут быть выполнены бесконтактными, что обеспечивает больший ресурс, высокую надежность и безопасность. Двигатели переменного тока находят применение, как в управляемых, так и в неуправляемых приводах. В настоящей главе мы рассмотрим характеристики наиболее распространенных машин переменного тока асинхронных и синхронных.

3.1. Электромеханические свойства асинхронных двигателей

Назначение асинхронного двигателя в наибольшей степени определяет его конструкцию. В общепромышленных неуправляемых приводах малой и средней мощности используются двигатели с короткозамкнутым ротором. В более мощных приводах, и там где требуется ограничение пусковых токов, применяют двигатели с фазным ротором. Приборную автоматику обслуживают приводы на малоинерционных управляемых асинхронных двигателях. В последнее время, в связи с развитием различных вариантов частотного управления, во всех типах управляемых приводов находят применение асинхронные двигатели с короткозамкнутым ротором. Поэтому наибольшее внимание уделим классическим трехфазным двигателям с короткозамкнутым и с фазным ротором.

3.1.1. Математическое описание процессов преобразования энергии в асинхронных машинах

Математическое описание электромагнитных процессов в машинах переменного тока намного сложнее, чем в машинах постоянного тока. Это объясняется не только тем, что их питание осуществляется переменным током, но и тем, что в таких машинах имеются несколько взаимосвязанных электрических контуров. В результате при описании электромагнитных процессов мы получаем систему дифференциальных уравнений высокого порядка. В теории электромеханического преобразования энергии существуют различные методы упрощения исходных уравнений. Наиболее распространенным из них является представление электрической машины в виде идеализированного двухфазного электромеханического преобразователя. В идеализированной машине в воздушном зазоре имеем круговое поле, а высшие гармоники отсутствуют. Методы перехода от исходной трехфазной машины к идеализированной хорошо разработаны в общей теории электромеханического преобразования энергии – на них останавливаться не будем. Отметим лишь, что в результате преобразований мы получим идеализированную машину, имеющую две обмотки на роторе и две обмотки на статоре, расположенные по ортогональным осям $α$ и $β$ (рис. 3.1). Для такой машины справедлива система уравнений:

(3.1)

png-file, 12 KB

где $u_α^s,~u_β^s$ – напряжения на обмотках статора; $i_α^s,~i_α^r,~i_β^s,~i_β^r$ – токи в обмотках статора и ротора по осям $α$ и $β$; $L_α^s,~L_α^r,~L_β^s,~L_β^r$ – полные индуктивности обмоток статора и ротора по осям $α$ и $β$; $m$ – число фаз двигателя; $M_э$ – электромагнитный момент двигателя.

png-file, 12 KB

Рис. 3.1. Модель идеализированной асинхронной машины

Полная индуктивность каждой обмотки может быть записана уравнением

$L = M + L_σ$

где $M$ – взаимная индуктивность между обмотками ротора и статора по осям $α$ и $β$; $L_σ$ – индуктивность рассеяния обмотки. Система уравнений (3.1) достаточно точно описывает статические и динамические процессы в асинхронном двигателе, если принят гармонический закон изменения напряжений $u_α$ и $u_β$. Однако она является существенно нелинейной и в таком виде практически не используется. Для упрощения математического описания электромагнитных процессов осуществляют преобразования исходных уравнений. В частности, если в первых четырех уравнениях системы (3.1) провести замену $d/dt↔jω$, получим систему уравнений асинхронного двигателя в установившемся режиме:

(3.2)

png-file, 12 KB

Так как рассматривается симметричная машина, целесообразно параметры обмоток обозначить $L_s=L_α^s=L_β^s$, $R_s=r_α^s=r_β^s$, $L_r=L_α^r=L_β^r$, $R_r=r_α^r=r_β^r$, а также ввести понятия $x_s=ωL_s$, $x_r=ωL_r$ – полные индуктивные сопротивления статора и ротора, $x_0=ωM$ – сопротивление взаимной индукции. Кроме того, обозначим результирующие векторы напряжений png-file, 12 KB и токов png-file, 12 KB, png-file, 12 KB. Тогда от четырех уравнений напряжений (3.2), если обратиться к обобщающим векторам напряжений, токов и сопротивлений, можно перейти к двум уравнениям:

(3.3)

png-file, 12 KB

где $ν=ω_р/ω$. Введем понятия скольжение ротора относительно поля статора $s=(ω-ω_р)/ω$ и ЭДС холостого хода png-file, 12 KB. Тогда систему уравнений асинхронной машины можно представить в виде:

(3.4)

png-file, 12 KB

Обозначим $z_s=R_s+jx_s$, $z_r=R_r+jx_r$, разделим второе уравнение системы (3.4) на $s$ и с учетом того, что $R_r/s=R_r+R_r×(1-s)/s$, получим

(3.5)

png-file, 12 KB

Полученные уравнения описывают электромагнитные процессы асинхронного двигателя в установившемся режиме. По ним строятся векторные диаграммы и схемы замещения двигателя. В частности, если перейти к приведенным параметрам роторной цепи, систему уравнений (3.5) можно представить в виде

(3.6)

png-file, 12 KB

Векторная диаграмма, соответствующая уравнениям (3.6) представлена на рис. 3.2.

png-file, 12 KB

Рис. 3.2. Векторная диаграмма асинхронной машины

3.1.2. Электромеханические характеристики асинхронных двигателей

Для вывода уравнения механической характеристики воспользуемся упрощенной схемой замещения двигателя (см. рис. 3.3), где обозначено: png-file, 12 KB – фазное напряжение; png-file, 12 KB – фазный ток статора и приведенный фазный ток ротора соответственно; png-file, 12 KB – ток намагничивания, приблизительно равный току холостого хода двигателя; $x_1,~x_2'$ – индуктивное сопротивление рассеяния обмотки статора и приведенное индуктивное сопротивление обмотки ротора; $R_1,~R_2'$ – активное сопротивление обмотки статора и приведенное сопротивление обмотки ротора; $R_μ,~x_μ$ – активное и реактивное сопротивление контура намагничивания, которые определяются параметрами взаимоиндукции статорной и роторной цепей. Такую схему замещения можно построить на основании уравнений (3.6), если принять

$C_1 ≈ 1 + x_1 / x_μ ≈ 1$,

где $C_1$ – модуль комплексного коэффициента, характеризующего соотношение сопротивлений статорной цепи и цепи контура намагничивания.

png-file, 12 KB

Рис. 3.3. Схема замещения асинхронного двигателя

В соответствии со схемой замещения можно получить выражение для тока ротора:

(3.7)

png-file, 12 KB

Электромагнитная мощность, передаваемая через воздушный зазор, определяется выражением

$P_э = M ω_0$,

где $M$ – момент на валу двигателя. Механическая мощность на валу двигателя определяется выражением

$P = M ω$.

Потери мощности в цепи ротора представим в виде

(3.8)

$ΔP = P_э - P = M (ω_0 - ω) = M · s ω_0$.

С другой стороны, потери мощности в цепи трехфазного ротора определяются выражением

(3.9)

$ΔP = 3 (I_2')^2 R_2'$.

Приравнивая правые части уравнений (3.8) и (3.9), выразим момент двигателя через ток ротора:

$M = 3 (I_2')^2R_2' / (ω_0 s)$.

Подставляя в последнее выражение $I_2'$ из (3.7), получим

(3.10)

$M(s) = 3 U_ф^2 R_2' / [ω_0 s ((R_1 + R_2' / s)^2 + (x_1 + x_2')^2)]$.

Выражение (3.10) является механической характеристикой асинхронного двигателя. Нетрудно заметить, что при $s→0$ и при $s→∞$ момент $M→0$, следовательно, функция момента имеет максимум. Известным способом, из уравнения $∂M/∂s=0$ определим значение критического скольжения $s_к$, при котором двигатель развивает максимальный (критический) момент:

(3.11)

png-file, 12 KB

где

$x_к = x_1 + x_2'$.

Подставляя полученное значение $s_к$ в (3.10), получим выражение для критического момента

(3.12)

png-file, 12 KB

Здесь знак «+» соответствует двигательному режиму, а знак «–» – генераторному.

Если выражение (3.10) разделить на (3.12), то после преобразований получим уравнение приведенной механической характеристики

(3.13)

$M(s) = 2 M_к (1 + a s_к) / (s / s_к + s_к / s + 2 a s_к)$.

где $a = R_1 / R_2'$.

png-file, 12 KB

Рис. 3.4. Механическая и электромеханическая характеристики асинхронного двигателя

Механическая характеристика, соответствующая (3.13), представлена на рис. 3.4.а. Она имеет несколько характерных точек:

  1. $s=0,~M=0$ – точка холостого хода, скорость равна синхронной;
  2. $s=s_н,~M=M_н$ – точка номинального режима, скорость равна номинальной;
  3. $s=s_{кд},~M=M_{кд}$ – точка максимального момента в двигательном режиме;
  4. $s=-s_{кг},~M=M_{кг}$ – точка максимального момента в генераторном режиме;
  5. $s=1,~M=M_п$ – точка пускового режима.

Существуют асинхронные двигатели, у которых механическая характеристика дважды меняет знак жесткости. Тогда выделяют точки минимального момента для двигательного и генераторного режимов.

Значение пускового момента просто получить из (3.13), принимая $s=1$:

(3.14)

$M_п = 2 M_к s_к (1 + a s_к) / (1 + s_к^2(1 + 2 a))$.

В ряде случаев, пренебрегая активным сопротивлением обмотки статора, при $s \lt s_к$ выражение момента можно представить линеаризованной зависимостью

(3.15)

$M(s) = s / s_к · 2 M_к$.

На рабочем участке характеристики это выражение оказывается достаточно точным. Из (3.15) получим простое приближенное соотношение для определения жесткости на рабочем участке характеристики

(3.16)

$β = 2 M_к / s_к$,

Уравнение (3.7) можно назвать электромеханической характеристикой двигателя, но только по отношению к вторичному приведенному току. Как следует из схемы замещения, ток, потребляемый двигателем, равен векторной сумме приведенного к статору тока ротора ($I_2'$) и тока намагничивания ($I_μ$). Последний, в первом приближении, можно считать постоянным. Тогда с учетом (3.7) электромеханическая характеристика двигателя имеет вид рис. 3.4.б, где обозначено $I_μ$ – ток намагничивания, $I_{1н}$ – номинальный потребляемый ток двигателя, $I_{1п}$ – пусковой ток, $I_{1пр}$ – предельный ток двигателя, который он имеет при $s=±∞$, $I_{1м}$ – максимальный ток двигателя.

Искусственные характеристики асинхронного двигателя получим из уравнений (3.11) и (3.12), согласно которым $s_к$ и $M_к$ изменяются при изменении следующих параметров: фазного напряжения, активного сопротивления цепи ротора, индуктивного и активного сопротивления цепи статора, и, в неявном виде, при изменении частоты питания двигателя. Соответствующее этим изменениям семейство искусственных характеристик в первом квадранте плоскости $s–M$ представлено на рис. 3.5.

Можно отметить, что согласно (3.11) и (3.12) при изменении активного сопротивления в цепи ротора момент критический не изменяется, а скольжение увеличивается при увеличении сопротивления – рис. 3.5.а, т.е. при введении добавочного сопротивления в цепь ротора жесткость механической характеристики уменьшается.

При изменении фазного напряжения неизменным остается критическое скольжение, критический момент уменьшается при уменьшении напряжения, т.е. жесткость механической характеристики также уменьшается, рис. 3.5.б.

При увеличении индуктивного сопротивления обмотки статора, например, путем введения в его цепь реактора (дросселя) примерно пропорционально уменьшаются и скольжение и критический момент, поэтому жесткость уменьшается, рис. 3.5.в.

При изменении частоты напряжения питания двигателя, во-первых, пропорционально изменяется скорость вращения поля статора, во-вторых, одновременно меняются и скольжение, и критический момент, рис. 3.3.г. Более подробно характеристики двигателя при изменении частоты мы рассмотрим ниже.

png-file, 12 KB

Рис. 3.5. Искусственные механические характеристики асинхронного двигателя

3.1.3. Режимы работы

Как видно из механической характеристики (рис. 3.4), асинхронный двигатель может работать в тех же режимах, что и двигатель постоянного тока. В первом и третьем квадрантах плоскости $s-M$ обеспечивается двигательный режим работы, а во втором и четвертом – режим торможения.

Рекуперативное торможение (торможение с отдачей энергии в сеть) возникает тогда, когда скорость двигателя превысит синхронную, т.е. при переходе рабочей точки привода по механической характеристике через точку холостого хода из первого квадранта во второй или из третьего в четвертый. Электромеханические характеристики в этом режиме описываются теми же уравнениями, что и в двигательном режиме (3.7) и (3.13) и находятся в верхней части квадрантов 1 и 2 рис. 3.4.

Торможение противовключением возникает либо в случае если момент нагрузки превысит критический момент двигателя и рабочая точка привода перейдет через точку пускового момента из первого квадранта в четвертый или из третьего во второй. Либо при переключении последовательности питающих фазных напряжений, когда за счет момента инерции маховых масс привода ротор двигателя какое-то время вращается против поля. В последнем случае, как и в двигателях постоянного тока, при переходе от двигательного режима к генераторному, может возникнуть недопустимо большой ток в цепи статора и необходимо предусмотреть мероприятия по его ограничению, например, путем введения добавочного сопротивления в цепь ротора. Электромеханические характеристики в этом режиме описываются теми же уравнениями, что и в двигательном режиме.

Динамическое торможение асинхронного двигателя может быть реализовано двумя способами: с возбуждением от источника постоянного тока и с самовозбуждением. Рассмотрим каждый из них.

Динамическое торможение с возбуждением от источника постоянного тока

Такое торможение осуществляется путем отключения обмотки статора от сети переменного тока и подключения ее к источнику постоянного тока, например, по одной из представленных на рис. 3.6. схем.

png-file, 12 KB

Рис. 3.6. Схемы подключения обмотки статора к источнику постоянного тока

Если обмотку статора подключить к источнику постоянного тока, то в воздушном зазоре двигателя образуется синусоидальное распределенное по расточке статора и неподвижное в пространстве электромагнитное поле. При вращении ротора проводники его обмотки будут пересекать неподвижное поле статора, и в них будет наводиться э.д.с. Под действием этой э.д.с. по обмотке ротора потечет ток, который образует также неподвижное в пространстве поле ротора. В результате взаимодействия неподвижных полей ротора и статора возникает тормозной момент.

Для того чтобы получить уравнения электромеханических характеристик двигателя в режиме динамического торможения, выраженные через те же параметры что и для двигательного режима, от реальной физической модели, которую мы представили выше, переходят к виртуальной модели, которую опишем. Первое предположение – двигатель питается не от источника постоянного тока, а от трехфазного источника переменного тока, обеспечивающего некоторый эквивалентный ток, создающий ту же м.д.с., что и реальный источник постоянного тока. Эквивалентный ток определяется из следующих соображений.

Амплитуда м.д.с., создаваемая переменным током, определяется соотношением

png-file, 12 KB

где $w_1$ – число витков фазы статора. М.д.с. статорной обмотки, подключенной к источнику постоянного тока, например по схеме рис. 3.6.а, определяется соотношением:

png-file, 12 KB

Из условия равенства м.д.с. в обоих случаях, найдем

png-file, 12 KB

Так как переменный ток в статоре виртуальной модели создает вращающееся поле, а в реальном двигателе оно неподвижно, будем считать, что статор модели вращается навстречу полю с той же скоростью – поэтому его поле неподвижно в пространстве. Если проследить за процессом разгона статора против поля, то можно понять, что модель переходит на генераторный участок механической характеристики, см. рис. 3.4, в режим рекуперативного торможения.

png-file, 12 KB

Рис. 3.7. Векторная диаграмма двигателя в режиме динамического торможения

Принимая во внимание что статорная обмотка подключена к источнику тока, векторная диаграмма двигателя имеет вид рис. 3.7, где обозначено $E_1,~E_2'$ – соответственно векторы э.д.с. статора и приведенной обмотки ротора. Ток намагничивания $I_μ$ определяется геометрической суммой векторов приведенного вторичного – $I_2'$ и эквивалентного тока $I_э$. С понижением скорости ротора уменьшается вторичный ток и его фазовый сдвиг относительно э.д.с. $E_2'$. Напомним, что при этом модуль вектора эквивалентного тока постоянен. Поэтому при уменьшении скорости конец вектора тока $I_э$ будет перемещаться по окружности по часовой стрелке и при заторможенном роторе совпадет с вектором $I_μ$. Следовательно, на малых скоростях двигатель оказывается сильно насыщен, а при больших – нет. Из векторной диаграммы имеем

(3.16)

$I_э^2 = (I_2')^2 + 2 I_μ I_2' \sin Ψ_2 + (I_μ)^2$;

(3.17)

png-file, 12 KB

где $E_{20}'$ – приведенная вторичная э.д.с. при синхронной скорости двигателя и намагничивающем токе $I_μ$, которая может быть найдена по кривой намагничивания двигателя, $s = ω / ω_0$ – скольжение при динамическом торможении.

Решая совместно (3.16) и (3.17), находим

(3.18)

png-file, 12 KB

Механическая характеристика запишется выражением, аналогичным по структуре механической характеристике для двигательного режима,

(3.19)

$M(s) = 2 M_{кт} / (s / s_{кт} + s_{кт} / s)$,

где

(3.20)

$M_{кт} = 3 I_э^2 x_μ^2 / (2 ω_0 (x_μ - x_2'))$

момент критический в режиме динамического торможения,

(3.21)

$s_{кт} = R_2' / (x_1 + x_2')$

критическое скольжение в режиме динамического торможения.

Общий вид характеристик представлен на рис. 3.8.

png-file, 12 KB

Рис. 3.8. Механическая характеристика асинхронного двигателя
в режиме динамического торможения

Выражения (3.18), (3.19) показывают, что нам удалось выразить электромеханические характеристики в режиме динамического торможения при возбуждении двигателя постоянным током через те же параметры, что и в двигательном режиме при питании от сети переменного тока – (3.7), (3.13).

Динамическое торможение с самовозбуждением

Такое торможение осуществляется путем отключения обмотки статора от сети и подключения к ней конденсаторов по схеме рис. 3.9.а, поэтому его называют также конденсаторным. При вращении ротора за счет его остаточной намагниченности в обмотке статора наводится э.д.с., под действием которой по обмотке протекает ток, возбуждающий магнитное поле. Под действием этого поля в обмотке ротора наводится вторичная э.д.с., и возникает ток, увеличивающий поле от остаточной намагниченности. Таким образом, происходит самовозбуждение двигателя.

png-file, 12 KB

Рис. 3.9. Схема включения и схема замещения асинхронного двигателя
при конденсаторном торможении

Включение конденсаторов, а не резисторов в цепь статора объясняется тем, что конденсаторы обеспечивают опережение вектором тока вектора э.д.с. В результате не происходит размагничивание ротора при переходе от двигательного режима к генераторному. Другими словами введение конденсаторов в цепь статора аналогично выполнению условия неизменности направления тока в обмотке возбуждения при переходе от двигательного режима к режиму динамического торможения с самовозбуждением в двигателе постоянного тока последовательного возбуждения.

Обычно для анализа конденсаторного торможения также используют параметры, соответствующие номинальной частоте. Для учета их изменения при изменении частоты вводится относительная частота $f_1^* = f_1 / f_{1н}$. Тогда $x_1 = f_1^* x_{1н}$, $x_2' = f_1^* x_{2н}'$, $x_c = x_{cн} / f_1^*$, где индексом (*) обозначены фактические значения параметров, а индексом (н) их значения при номинальной частоте. Условия самовозбуждения найдем из анализа схемы замещения (рис. 3.9.б). При этом следует иметь в виду, что реактивные сопротивления схемы зависят от частоты. Состояние машины в режиме самовозбуждения описывается уравнением:

$E_1 = I_1 Z_1$

или

png-file, 12 KB

где $f_{11}^*$ – относительная частота, соответствующая началу самовозбуждения – определяет нижний предел скорости двигателя, при котором генерируемой (от остаточного магнитного поля) э.д.с. хватает для создания тока в замкнутой цепи статора обеспечивающего намагничивание.

Полагая, что в начале самовозбуждения $I_2'≈0$, т.е. $I_1=I_μ$, а также $x_μ=x_μ_0$, находим

$(f_{11}^* x_{μ0})^2 = R_1^2 + (f_{11}^* x_1 - x_c / f_{11}^*)^2$.

Отсюда

(3.22)

png-file, 12 KB

Сопротивление намагничивающего контура будет минимальным и равным активному сопротивлению обмотки статора при резонансе напряжений (если реактивные сопротивления компенсируют друг друга):

$f_{11}^* x_{μ0} ≈ x_c / f_{11}^*$,

при этом оставшееся сопротивление контура (аналогично условию самовозбуждения машин постоянного тока) должно быть меньше критической величины.

Из последнего уравнения имеем

(3.23)

png-file, 12 KB

Учитывая, что в начале самовозбуждения $s=0$ находим угловую скорость ротора, соответствующую этому условию,

(3.24)

png-file, 12 KB

Выражение (3.24) позволяет определить минимальную скорость двигателя, при которой возможен его переход в режим самовозбуждения при заданных параметрах и выбранной емкости.

Мы определили нижнюю границу существования генераторного режима. Однако ограничение на его существование накладывается и сверху. Это объясняется тем, что с ростом частоты увеличивается и сопротивление индуктивностей рассеяния статорной и роторной обмоток, и, начиная с некоторого значения частоты, падение напряжения на конденсаторе, уравновешивается падением напряжения на индуктивности рассеяния фазы и цепь намагничивания оказывается зашунтированной. Эта частота может быть определена из соотношения

$f_{12}^*(x_1 + x_2') = x_c / f_{12}^*$.

Откуда следует

(3.25)

png-file, 12 KB

и соответственно

png-file, 12 KB

где $ω_{02}$ – верхнее, граничное значение синхронной скорости.

Из теории электрических машин известно, что верхняя граница скольжения, при котором реализуется генераторный режим, определяется соотношением $s_{гр}=-R_2'/R_1$. Тогда граничное значение скорости вращения ротора определяется соотношением

(3.26)

png-file, 12 KB

Из полученных соотношений можно заключить, что чем больше емкость, тем ниже обе границы существования генераторного режима. Ширина зоны существования определяется отношением индуктивных сопротивлений контура намагничивания $x_μ$ и рассеяния $x_к$. Чем больше это отношение, тем шире зона генераторного режима. Увеличение емкости ведет к увеличению тормозного момента. Общий вид механических характеристик двигателя при конденсаторном торможении соответствует рис. 3.8.

3.1.4. Способы регулирования момента и скорости

Рассматривая искусственные характеристики двигателей рис. 3.5, мы отметили, что их вид зависит от таких параметров, как активное сопротивление в цепи ротора, напряжение питания, индуктивное сопротивление в цепи статора, число пар полюсов и частота питающего напряжения.

Регулирование момента, как можно понять из анализа схемы замещения рис. 3.3, может быть осуществлено путем изменения напряжения. Например, с помощью тиристорного преобразователя или импульсным методом. При этом момент оказывается пропорционален квадрату напряжения, а регулирование возможно только вниз от номинального значения.

Регулирование скорости может быть осуществлено путем изменения активного сопротивления в цепи статора, изменением числа пар полюсов двигателя и регулированием частоты. Недостатком регулирования изменением активного сопротивления является то, что регулирование скорости осуществляется за счет изменения скольжения, а как следует из (3.8), электромагнитный к.п.д. двигателя определяется соотношением

(3.27)

$η_э = P / P_э = ω / ω_0 = 1 – s$.

Следовательно, при уменьшении скорости уменьшается и электромагнитный к.п.д. Способ регулирования скорости числом пар полюсов лишен этого недостатка, так как он основан на изменении синхронной скорости при незначительном изменении скольжения. Недостатком такого способа является высокая дискретность регулирования и сложность обеспечения низких скоростей вращения. Всех перечисленных недостатков лишен частотный способ регулирования. Действительно, здесь регулирование осуществляется за счет изменения синхронной скорости при незначительном изменении скольжения, обеспечивающего высокое значение электромагнитного к.п.д. Причем скорость может регулироваться как вверх от номинальной, так и вниз. При использовании обратных связей частотное регулирование может обеспечить достаточно широкий диапазон регулирования скорости.

Можно отметить, что частотное регулирование является предпочтительным во всех отношениях для асинхронного двигателя, как при регулировании скорости, так и при регулировании момента и в этом отношении эквивалентно якорному управлению для двигателя постоянного тока независимого возбуждения, поэтому его мы рассмотрим подробнее.

Возможность частотного регулирования следует непосредственно из соотношения, определяющего синхронную скорость:

$ω_0 = 2 π f_1 / p$.

Э.д.с. обмотки статора также пропорциональна частоте:

$E_1 = K Φ f_1$.

Если пренебречь падением напряжения на обмотке статора, можно считать $U_ф≈E_1$. Отсюда

(3.28)

$U_ф ≈ K Φ f_1$.

Из этого выражения следует, что при неизменном напряжении и переменной частоте изменяется и поток двигателя. Уменьшение частоты ведет к увеличению потока и как следствие к насыщению машины, т.е. ухудшению энергетических показателей двигателя. Увеличение частоты ведет к снижению потока, т.е. к уменьшению момента и снижению перегрузочной способности двигателя. Решение очевидно – одновременно с частотой необходимо менять и напряжение.

При выборе соотношения между частотой и напряжением чаще всего исходят из условия сохранения постоянной перегрузочной способности двигателя, под которой понимают соотношение $λ=M_{к}/M_с$. Из уравнения (3.12), пренебрегая падением напряжения на обмотке статора и учитывая, что и $x_к∼f_1$ и $ω_0∼f_1$, можно записать:

$M_к = A × U_ф^2 / f_1^2$,

где $A$ – коэффициент, независящий от напряжения и частоты. Тогда для любой частоты $f_{1j}$ и соответствующей ей скорости $ω_j$ можно записать:

$λ ( f_{1j} ) = M_{кj} / M_с(ω_j) = A × U_{фj}^2 / f_{1j}^2 / M_с(ω_j) = \const$,

где $M_с(ω_j)$ – статический момент на валу двигателя при скорости $ω_j = 2 π f_{1j} / p$.

Из последнего выражения следует, что для любых двух значений частоты $f_{1j}$ и $f_{1k}$ должно выполняться условие

$U_{фj}^2 / f_{1j}^2 / M_с(ω_j) = U_{фk}^2 / f_{1k}^2 / M_с(ω_k)$.

Отсюда следует основной закон изменения напряжения при частотном регулировании двигателя:

(3.29)

png-file, 12 KB

Принимая один из режимов, в частности ($k$), номинальным, т.е. полагая $f_{1k} = f_{1н}$ и $U_{фk} = U_{фн}$, запишем основной закон изменения напряжения в относительных единицах:

(3.30)

png-file, 12 KB

где $u_1 = U_ф / U_{фн}$, $f_1^* = f_1 / f_{1н}$, $m_с = M_с / M_{сн}$.

Выражения (3.29) и (3.30) показывают, что напряжение должно меняться не только в функции частоты, но и в функции момента, который, в свою очередь, также может меняться при изменении скорости, например, в соответствии с выражением (1.3). Разделив обе части этого выражения на номинальный момент, мы получим общее выражение для зависимости относительного момента от скорости

$m_с = m_0 + (1 – m_0) (ω^*)^s$,

где $ω^*=ω/ω_н$ – относительная скорость. Подставляя полученное значение $m_с$ в уравнение (3.30), мы получим общий закон изменения напряжения от частоты при регулировании скорости:

при постоянном моменте на валу ($s = 0$)

(3.31.а)

$u_1 = (f_1^*)^1$,

при постоянной мощности ($s = -1$)

(3.31.б)

$u_1 = ( f_1^*)^{1/2}$,

при вентиляторной нагрузке ($s = 2$)

(3.31.в)

$u_1 = (f_1^*)^2$.

Следует отметить, что полученные выражения в результате пренебрежения падением напряжения на обмотке статора являются приближенными. Однако их достаточно для того, чтобы иметь общее представление о закономерностях частотного регулирования асинхронных двигателей.

3.1.5. Динамические свойства

Полученная в предыдущем параграфе система уравнений (3.1) может быть использована для описания динамических режимов процесса электромеханического преобразования энергии в асинхронном двигателе. Однако, как отмечалось, она является существенно нелинейной и даже после преобразований на ее основе получаются громоздкие, неудобные уравнения. Для практического применения используют упрощенные линеаризованные уравнения математической модели АД, которые получают путем преобразования системы уравнений (3.1), дополнив ее уравнением движения (1.14) и воспользовавшись известными методами линеаризации при малых отклонениях координат относительно точки установившегося режима. Работа эта довольно трудоемкая, требующая ряда дополнительных преобразований и упрощений, поэтому, опуская промежуточные преобразования, сразу представим упрощенную линеаризованную структурную схему двигателя, работающего на рабочем участке механической характеристики, при управлении частотой – рис. 3.10, где обозначено

(3.32)

$β = 2 M_к / (ω_{0ном} s_к)$,   $T_э = 1 / (ω_{0ном} s_к)$.

png-file, 12 KB

Рис. 3.10. Структурная схема динамической модели
асинхронного двигателя при частотном управлении

Сравнивая (рис. 2.10) и (рис. 3.10), можно отметить, что при частотном управлении асинхронный двигатель, как динамическая система, является полным аналогом коллекторного двигателя независимого возбуждения при якорном управлении, и все уравнения и выводы о характере переходных процессов для коллекторного двигателя справедливы и в данном случае, но при других значениях коэффициентов. Например, передаточные функции по управлению и возмущению соответственно имеют вид (2.45.а) и (2.47.а), если в них принять

$k_ω = 1$,   $k_m ≈ ω_1 / M_1$,   $T_я = T_э$,   $T_м = J / β$,

где $ω_1,~M_1$ – соответственно скорость и момент в точке, относительно которой рассматриваются отклонения.

3.2. Электромеханические свойства синхронных двигателей

Синхронные двигатели по конструктивному исполнению ротора делятся на два типа: с явно- и неявновыраженными полюсами, а по типу возбуждения ротора – с электромагнитным и магнитоэлектрическим возбуждением. В последнем случае ротор выполняется неявнополюсным, а его возбуждение осуществляется от постоянного магнита. Двигатели с постоянными магнитами находят наибольшее применение в приводах систем автоматики мощностью до нескольких киловатт, как будет показано ниже, на основе таких машин строятся находящие все большее применение вентильные двигатели постоянного тока малой мощности.

3.2.1. Математическое описание процессов преобразования энергии в синхронных машинах

Простейшую модель синхронной машины можно получить из модели обобщенной машины, если $ω_р=ω_с$. Синхронные машины имеют на роторе демпферную обмотку и обмотку возбуждения. Поэтому синхронную машину без учета вихревых токов необходимо рассматривать как машину с одной обмоткой на статоре и двумя обмотками на роторе. Чтобы в уравнениях напряжений было меньше членов, содержащих ЭДС вращения, удобнее рассматривать обращенную машину с вращающейся обмоткой якоря (рис. 3.11), где обозначено: $w_f$ – обмотка возбуждения ротора; $w_{дd},~w_{дq}$ – демпферная обмотка по осям $d$ и $q$; $w_d,~w_q$ – обмотка статора по тем же осям. Процессы электромеханического преобразования энергии происходят в воздушном зазоре, поэтому они не изменяются от того, вращаются или неподвижны обмотки. Важно относительное перемещение обмоток.

При составлении уравнений синхронной машины удобно описывать их в системе координат $d$ и $q$, связанных с обмотками ротора. Наблюдатель, располагаясь на роторе машины, «видит» в воздушном зазоре неподвижное относительно ротора магнитное поле, созданное переменными токами обмоток статора. Картина не изменится, если остановить ротор и магнитное поле. Чтобы в заторможенной машине токи остались теми же, что и во вращающейся, надо ввести ЭДС вращения в обмотки якоря, частоту токов сделать равной нулю. Система координат $d$ и $q$ удобна тем, что моделирование осуществляется на постоянном токе.

В этом случае мы имеем систему уравнений напряжений:

(3.33)

png-file, 12 KB

где $r_а$ – активное сопротивление обмотки якоря; $r_f$ – активное сопротивление обмотки возбуждения; $r_{дd},~r_{дq}$ – активное сопротивление демпферной обмотки по осям $d$ и $q$; $i_{дd},~i_{дq}$ – токи в демпферной обмотке по продольной и поперечной осям машины; $ω_р$ – угловая скорость вращения ротора.

png-file, 12 KB

Рис. 3.11. Модель обращенной синхронной машины

Потокосцепления обмоток в (3.39) определяются выражениями

(3.34)

png-file, 12 KB

Здесь $L_d,~L_q$ – индуктивности обмотки якоря по продольной и поперечной осям машины; $L_f$ – индуктивность обмотки возбуждения; $L_{дd},~L_{дq}$ – индуктивность демпферной обмотки по продольной и поперечной осям машины; $M_{аd},~M_{аq}$ – взаимные индуктивности между обмотками по продольной и поперечной оси.

Электромагнитный момент через потокосцепления определяется выражением

(3.35)

$M = Ψ_d i_d - Ψ_q i_q$.

Так как влияние демпферной обмотки проявляется только в переходных режимах, для упрощения предположим, что она отсутствует. С учетом этого, подставив в уравнения (3.33) потокосцепления из (3.34), получим

(3.36)

png-file, 12 KB

B (3.36)

(3.37)

$L_d = M_{аd} + L_{σd}$,   $L_q = M_{аq} + L_{σq}$,   $L_f = M_{аf} + L_{σf}$,

где $L_{σd},~L_{σq},~L_{σf}$ – индуктивности рассеяния соответствующих обмоток.

С учетом (3.36) уравнения (3.37) можно записать следующим образом

(3.38)

png-file, 12 KB

Представив ЭДС вращения в продольной и поперечной осях

$E_q = L_q i_q ω_р$,   $E_d = L_d i_d ω_р + M_{аd} i_f ω_р$,

получим

(3.39)

png-file, 12 KB

Полученные уравнения описывают переходные и установившиеся процессы в синхронной машине без демпферной обмотки.

Чтобы получить из дифференциальных уравнений синхронной машины уравнения для установившегося режима, необходимо в (3.39), так же как это делалось для асинхронных машин, заменить оператор дифференцирования

$d/dt ↔ jω$.

Уравнения установившегося режима получат вид

png-file, 12 KB

Так как сопротивление по продольной оси

$x_d = ω L_{σd} + ω M_{аd}$

а сопротивление по поперечной оси

$x_q = ω L_{σq} + ω M_{аq}$

получим

(3.40)

png-file, 12 KB

Предположим, что возбуждение двигателя осуществляется от постоянных магнитов с направлением потока по оси «$d$», поэтому имеем

png-file, 12 KB

Кроме того, обозначим

(3.41)

png-file, 12 KB

где $U$ – действующее значение фазного напряжения, $θ$ – угол сдвига между векторами напряжения и ЭДС. Для упрощения будем считать также, что имеем неявнополюсную машину и поэтому $x_d = x_q = x$. Тогда система уравнений (3.40) может быть представлена в виде

(3.42)

$U \cos θ = I_d x + I_q r_а + E_0$,
$-U \sin θ = I_d r_а - I_q x$.

Векторная диаграмма синхронной машины без учета насыщения приведена на рис. 3.12.

i030_350.png, 3,8kB

Рис. 3.12. Векторная диаграмма синхронной машины без учета насыщения

Решая полученную систему уравнений, найдем

(3.43.а)

$I_q = (U (r_а \cos θ + x \sin θ) - r_а E_0) / (x^2 + r_а^2)$,

(3.43.б)

$I_d = (U (x \cos θ - r_а \sin θ) - x E_0) / (x^2 + r_а^2)$.

Согласно (3.35) с учетом принятого допущения

$L_d = L_q = L$

получим

(3.44)

$M = Ψ_d i_q - Ψ_q i_d = M_{аd} i_f i_q$.

В последнем выражении первые две составляющие правой части физически представляют потокосцепление поля магнита ротора с обмоткой якоря

(3.45)

$M_{аd} i_f = Ψ_r$.

Подставив в (3.44) ток из (3.43.а), а потокосцепление из (3.45), получим выражение для электромагнитного момента синхронной машины с учетом принятых допущений

(3.46)

$M = 3 Ψ_r × (U (r_а \cos θ + x \sin θ) - r_а E_0) / (x^2 + r_а^2)$.

Как следует из принципа действия синхронного двигателя, его скорость вращения при увеличении момента на валу до некоторого допустимого значения не меняется, т.е. механическая характеристика представляет собой прямую линию, параллельную оси абсцисс. На изменение момента на валу двигатель реагирует изменением угла $θ$, который называют углом нагрузки. Зависимость момента от угла нагрузки $M_э=f(θ)$, записанную в виде (3.46) называют угловой моментной характеристикой, которая для двигателя с неявно выраженными полюсами имеет вид (рис. 3.13). Если момент на валу превысит $M_{мд}$, то двигатель выходит из синхронизма. Очевидно, что регулирование скорости синхронного двигателя может быть осуществлено только частотным способом. При этом так же, как и у асинхронного двигателя, одновременно с частотой необходимо изменять и напряжение. Закон регулирования напряжения может быть определен полученными для асинхронного двигателя соотношениями (3.29).

Торможение может осуществляться в режиме рекуперации. При этом переход в тормозной режим происходит автоматически по мере изменения момента и соответствующего изменения угла $θ$. Максимальный момент в тормозном режиме $M_{мг}$. Если момент на валу превысит это значение, двигатель также выйдет из синхронизма. Таким образом, рекуперативное торможение может быть реализовано только при синхронной скорости.

Если мы хотим осуществить торможение на скорости, отличной от синхронной, необходимо использовать динамическое торможение, которое может быть осуществлено путем отключения статорной обмотки от сети и включения ее на добавочное сопротивление.

png-file, 12 KB

Рис. 3.13. Угловая – моментная характеристика синхронного двигателя

При этом тормозной момент на разных скоростях можно определить по выражению (3.43), принимая напряжение питания двигателя равным нулю, путем интегрирования момента по углу $θ$ на интервале от «0» до «π». При наличии добавочного сопротивления в цепи статора его необходимо прибавить к сопротивлению статорной обмотки. Кроме того, необходимо учесть зависимость от частоты вращения ротора двигателя индуктивного сопротивления обмотки статора. Торможение противовключением в приводе с синхронными двигателями не используется, так как при противовключении двигатель выходит из синхронизма.

Энергетические показатели синхронного двигателя определяются электромагнитным к.п.д. $η_э=P_э/P_s$ и $\cos φ$, где

$P_э = M ω$.

Мощность, потребляемая двигателем из сети, определяется выражением

$P_s = U I_q \cos θ - U I_d \sin θ$.

Подставляя токи из (3.43) и выражая напряжение и ток через их действующие фазные значения, для трехфазного двигателя после преобразования получим

(3.47)

png-file, 12 KB

3.2.2. Динамические характеристики

Для описания динамических режимов двигателя воспользуемся системой уравнений (3.39), которая с учетом принятых нами допущений о неявнополюсном роторе и возбуждении от постоянных магнитов, а также с учетом (3.2) получит вид

$u_d = L × di_d/dt - L i_q ω_р + r_а i_d$,
$u_q = L × di_q/dt + L i_d ω_р + Ψ_r ω_р + r_а i_q$.

Полученная система уравнений описывает электромагнитные процессы в двигателе. Дополним ее уравнением механической части двигателя

$J × dω/dt = 3 Ψ_r i_q - M_с$,

где $J$ – момент инерции ротора двигателя, $M_с$ – статический момент на валу двигателя.

Перепишем полученную систему в относительных единицах, приняв за базовые значения тока, момента и скорости следующие величины

$I_б = U / r_а$,   $M_б = 3 I_б Ψ_r$,   $ω_б = U / Ψ_r$.

В результате получим

(3.48)

$(τ_э p + 1) i_d - τ_э ω i_q = -\sin θ$,
$τ_э ω i_d + (τ_э p + 1) i_q = \cos θ - ω$,
$τ_м p ω = i_q - m_с$,

где $τ_э=Lω_б/r$, $τ_м=Jr/(3Ψ_r)^2$, $m_с=M_с/M_б$, $p=d/dτ$, $τ=ω_бt$ – безразмерное время, $M_с$ – статический момент на валу двигателя.

Решив систему (3.48) относительно $ω$, получим

$(τ_м τ_э^2 p^3 + 2 τ_м τ_э p^2 + (τ_м τ_э ω^2 + τ_м + τ_э) p +$
$+ (1 - τ_э \sin θ - τ_э^2 ω)) ω = (1 + τ_э p) \cos θ + m_с (1 + τ_э p)^2$.

Полученное уравнение показывает, что в данном случае так же, как и для асинхронного двигателя, мы имеем существенно нелинейную систему, точное исследование которой возможно только численными методами. Для приближенного аналитического описания динамической модели синхронного двигателя линеаризуем уравнение при малых отклонениях скорости и момента на валу, обозначив:

$Δm = m_{с0} - m_с$,   $Δω = ω_с - ω$,   $Δθ = -Δω / p$,

где знаком $Δ$ отмечены малые отклонения статического момента и скорости относительно их установившихся значений.

Разлагая нелинейные зависимости в ряд Тейлора в точке установившегося режима и пренебрегая малыми второго порядка, получим передаточную функцию двигателя по возмущению:

(3.49)

png-file, 12 KB

где

$b_2 = τ_э^2$,   $b_1 = 2 τ_э$,   $b_0 = 1 + ω_с^2 τ_э^2$,
$a_4 = τ_э^2 τ_м$,   $a_3 = 2 τ_э τ_м$,   $a_2 = τ_м τ_э^2 ω_с^2 + τ_э + τ_м$,
$a_1 = 1$,   $a_0 = \sin θ_0 - τ_э ω_с \cos θ_0$.

Таким образом, синхронный двигатель представляет собой динамическую систему четвертого порядка. Отметим, что согласно (3.43) установившаяся ошибка по скорости равна нулю, что согласуется с принципом действия двигателя. В большинстве случаев на роторе синхронного двигателя имеется короткозамкнутая пусковая или демпферная обмотка. Наличие их не изменит порядка системы, а повлияет только на значения некоторых коэффициентов передаточной функции. В частности, увеличится коэффициент $a_1$, что способствует повышению устойчивости двигателя. В общем случае о динамической устойчивости двигателя необходимо судить по характеристическому уравнению, исследуя его известными методами теории автоматического управления. В практике иногда встречаются сочетания параметров, при которых двигатель оказывается неустойчивым. Для обеспечения устойчивости вводят регулирование возбуждения или обратную связь по положению ротора.

В простейшем случае при пренебрежении индуктивностью обмоток, т.е. при $τ_э = 0$, передаточная функция по возмущению получит вид

$W (p) = p / (τ_м p^2 + p + \sin θ_0)$

Из нее можно заключить, что даже при пренебрежении индуктивностью статорной обмотки синхронный двигатель является динамической системой второго порядка. Напомним, что двигатель постоянного тока представляет собой систему первого порядка, поэтому стабилизация систем с синхронным двигателем более сложная.

3.2.3. Шаговый режим синхронного двигателя

Если обмотку синхронного двигателя питать не синусоидальным напряжением, а с помощью полупроводникового коммутатора осуществлять поочередное пофазное подключение ее к источнику постоянного тока, то мы получим не вращающееся, а дискретно перемещающееся поле статора. Такой режим работы синхронного двигателя называют шаговым, так как при этом осуществляется дискретное (шаговое) вращение ротора вслед за полем статора. Для шагового режима проектируют специальные двигатели, которые называют шаговыми. Они выполняются с различным числом фаз (секций, обмоток) на статоре, могут иметь различные схемы и способы возбуждения ротора: от постоянных магнитов; с самовозбуждением; с возбуждением постоянным потоком со стороны статора; индукторные; реактивные и т.д., часто выполняются с большим числом пар полюсов.

Питание обмотки статора может быть реверсивным или нереверсивным. В первом случае секции обмотки поочередно подключаются к разным шинам источника питания, во втором – к одной шине, а общая точка обмотки при этом постоянно подключена к другой шине. Число переключений обмотки статора или число шагов ротора при повороте на 360 градусов определяют величину шага. У различных двигателей она может иметь значение от десятков градусов до долей градуса. Кроме величины шага, шаговый двигатель характеризуется частотой приемистости, под которой понимают предельную частоту импульсов, при которой ротор двигателя может перемещаться при поступлении каждого импульса на один шаг без пропуска шагов. Вводится также понятие максимального момента двигателя, соответствующее максимальному моменту синхронного двигателя при нулевой скорости, и понятие номинального статического момента, при котором обеспечивается заданная частота приемистости. Все перечисленные и некоторые другие данные шаговых двигателей приводятся в соответствующих каталогах.