Воронин Сергей Григорьевич

Глава 7. Математическое описание и стандартные настройки систем автоматического управления электроприводами

Различают разомкнутые и замкнутые системы управления электроприводом. В разомкнутых системах при изменении возмущающих воздействий, например, нагрузки на валу двигателя, происходит изменение ранее заданного режима работы. Они чаще всего используются для осуществления ручных операций пуска, торможения или реверса привода в тех случаях, когда не очень жестко задано время или ограничения координат. Такие системы являются наиболее простыми и дешевыми, поэтому находят достаточно широкое применение во многих общепромышленных производственных механизмах. Общие принципы построения и основные расчетные соотношения для их синтеза достаточно просты и хорошо описаны в соответствующей литературе, приведенной в библиографическом перечне, поэтому рекомендуются для самостоятельной проработки. В данном конспекте рассмотрены только замкнутые системы, т.е. собственно системы автоматического управления приводами.

В зависимости от назначения исторически сложилось два самостоятельных подхода при синтезе систем автоматического управления приводом. В общепромышленном приводе системы строят на принципе подчиненного регулирования, который позволяет использовать электродвигатель во многих случаях как безынерционный регулятор момента и существенно упрощает решение вопросов синтеза и настройки регуляторов. Специалисты по следящим системам рассматривают принцип подчиненного регулирования как удобный метод ограничения координат и практически не используют его при синтезе систем, особенно при реализации сложных алгоритмов управления и регуляторов, например, при модальном управлении или в системах с наблюдателями. В настоящем курсе мы покажем особенности синтеза и настройки систем электропривода для обоих подходов с обоснованием выбора какого-либо из них.

7.1. Математическое описание систем управления электроприводом

Рабочие файлы: [САР в относительных величинах]

Рассмотрим обобщенную функциональную схему автоматизированного электропривода рис. 7.1, где обозначено: Р – регулятор; ПН – преобразователь напряжения; ОР – объект регулирования; ДОС – датчик обратной связи. На вход системы поступает сигнал управления $U_0$, который задает значение выходной координаты и может быть представлен в аналоговой, импульсной или цифровой форме. На объект регулирования воздействует возмущающее воздействие $U_{вз}$ в виде изменения: частоты, или напряжения первичного источника питания привода, или статического момента нагрузки. Преобразователь может быть любым из рассмотренных выше типов: электромеханический, тиристорный или импульсный. Объект регулирования чаще всего включает двигатель совместно с исполнительным органом привода, поэтому может описываться различными передаточными функциями. В качестве датчика обратной связи может быть использован аналоговый или частотный датчик скорости или угла с передаточным коэффициентом $k_{ос}$. Разность сигналов заданного $U_0$ и пропорционального фактическому значению выходной координаты привода $U_{ос}$ поступает на регулятор, который в соответствии со своей передаточной функцией формирует сигнал управления преобразователем напряжения $U_у$, который в свою очередь управляет двигателем $U_д$ так, чтобы свести эту разность к нулю или по возможности уменьшить ее.

png-file, 12 KB

Рис. 7.1. Функциональная схема
автоматизированного электропривода
(САР скорости, момента или положения)

Для того чтобы исследовать такую систему необходимо иметь систему дифференциальных уравнений, характеризующих зависимости координат от внешних воздействий и друг от друга. В общем случае эти уравнения могут быть нелинейными, т.е. их коэффициенты могут зависеть от времени или значений координат. Последнее, как было показано при описании динамических характеристик электродвигателей, часто встречается в электроприводе. Там же было показано, что некоторые координаты привода могут являться функцией произведения внешних воздействий и переменных, и приведена методика линеаризации математического описания систем в режиме малых отклонений в интересующей нас точке или в точке установившегося режима. В дальнейшем, если нет дополнительной оговорки, речь будет идти о линейных или линеаризованных системах.

Предположим, что объект регулирования представляет собой двигатель постоянного тока независимого возбуждения, питающийся от идеального источника тока, к валу которого приведена некоторая инерционная нагрузка, т.е. представляет собой интегрирующее звено с постоянной времени $T_о$. Коэффициенты передачи объекта по управлению и по возмущению соответственно обозначены

$k_о = U_{вых} / U_{дв}$,   $k_{вз} = U_{вых} / U_{вз}$.

Из уравнения момента (2.6) и уравнения движения (1.18), принимая $U_{вых}=ω$, $U_{вз}=M_с$, $U_{дв}=I_я$ нетрудно показать, что $T_о=J$, $k_о=KΦ$, $k_{вз}=1$.

Пусть преобразователь напряжения, который, как отмечалось, является идеальным источником тока, описывается апериодическим звеном с коэффициентом передачи $k_п$ и постоянной времени $T_μ$, являющейся малой по сравнению с постоянной времени объекта, а регулятор является безынерционным усилителем с передаточным коэффициентом $k_р$.

В соответствии с приведенным описанием работы и принятыми уравнениям отдельных элементов, привод может быть описан следующей системой уравнений:

(7.1)

$U_{вых} = (k_о U_д + k_{вз} U_{вз}) / (T_о p)$,
$U_д = U_у × k_п / (T_μ p + 1)$,
$U_у = k_р (U_0 - U_{ос})$,
$U_{ос} = k_{ос} U_{вых}$.

Здесь $p = d~/dt$ – оператор дифференцирования.

Этим уравнениям соответствует структурная схема системы в абсолютных единицах рис. 7.2.

png-file, 12 KB

Рис. 7.2. Структурная схема автоматизированного
электропривода в абсолютных единицах
(координаты обозначены прописными буквами)

Состояние системы $n$-го порядка в любой момент времени может быть охарактеризовано положением изображающей точки в $n$-мерном пространстве состояний, координатами которого являются выходные переменные элементарных звеньев системы или их линейная комбинация. Такому представлению соответствует запись дифференциальных уравнений в нормальной форме. Для рассматриваемой системы второго порядка, исключая переменные $U_у$ и $U_{ос}$, производные от которых не фигурируют в описании системы, уравнения в нормальной форме имеют вид

(7.2)

$p U_д = (k_п k_р U_0 - k_п k_р k_{ос} U_{вых} - U_д) / T_μ$,
$p U_{вых} = (k_о U_д + k_{вз} U_{вз}) / T_о$.

Для сокращения числа коэффициентов и представления переменных в более удобной безразмерной форме дифференциальные уравнения записывают также в относительных единицах. Как это делается при описании электромеханических свойств и динамических характеристик двигателей или системы управляемый преобразователь-двигатель, мы показали ранее. В данном случае такой переход осуществим при принятии за базовое значение выходной координаты $U_{вых}=U_{вых~б}$ и определении других базовых значений в виде

$U_{вз~б} = U_{вых~б} / k_{вз}$,   $U_{д~б} = U_{вых~б} / k_о$,
$U_{у~б} = U_{д~б} / k_р$,   $U_{0~б} = U_{ос~б} = k_{ос} U_{вых~б}$.

Введя, как это принято при записи уравнений в форме пространства состояний, обозначения: $u_д=x_1$, $u_{вых}=x_2$, $p u_д=x′_1$, $p u_{вых}=x′_2$, – систему уравнений (7.2) перепишем в относительных единицах

(7.3.а)

$x′_1 = 1 / T_μ × (\vec{k}_р u_0 - \vec{k}_р x_2 - x_1)$,

(7.3.б)

$x′_2 = 1 / T_о × (x_1 + u_{вз})$,

где

(7.3.в)

$u_д = U_д / U_{д~б}$,   $u_{вз} = U_{вз} / U_{вз~б}$,   $\vec{k}_р = k_р k_п k_о k_{ос}$.

Полученные уравнения удобны для моделирования систем автоматизированного привода, так как записаны в относительных безразмерных единицах в форме Коши. Соответствующая им структурная схема привода представлена на рис. 7.3.

gif-file, 12 KB

Рис. 7.3. Структурная схема автоматизированного
электропривода в относительных единицах
(координаты обозначены строчными буквами)

Системы уравнений (7.2) и (7.3) позволяют представить динамическую модель системы в матричной форме, что целесообразно при рассмотрении сложных систем и реализации сложных алгоритмов модального управления. При этом координаты системы описываются $n$-мерным вектором $x$ пространства состояний, а $m$ внешних входных воздействий образуют вектор $u$ в $m$-мерном пространстве. Из него можно выделить вектор управляющих воздействий и вектор возмущений. В реальной системе не все переменные состояния могут быть измерены, например, для того, чтобы по ним осуществлять управление приводом. Поэтому вводится понятие измеряемых переменных. Пусть таких переменных $r$ и они составляют вектор измеряемых переменных $y$. При таком описании система уравнений привода может быть представлена в компактной форме:

(7.4.а)

$x′ = A x + B u$,

(7.4.б)

$y = C x$,

где $A$ – $(n×n)$ – матрица коэффициентов; $B$ – $(n×m)$ – матрица управления; $C$ – $(r×n)$ – матрица входного сигнала.

Для рассматриваемого примера, предполагая, что измеряемой координатой является только $x_2$, можно записать:

png-file, 12 KB

7.2. Стандартные настройки простейших контуров

Во многих случаях собственно автоматизированный электропривод с обратной связью или отдельные его контуры могут быть описаны передаточными функциями, соответствующими элементарным звеньям систем автоматического управления второго порядка, или сведены к ним. Задача синтеза корректирующего звена для такого привода или контура, из условия обеспечения оптимального или близкого к оптимальному переходного процесса, сводится к выбору регулятора, реализующего некоторую стандартную передаточную функцию. Коэффициенты этого регулятора необходимо рассчитать. Рассмотрим некоторые стандартные настройки.

7.2.1. Настройка на оптимум по модулю

Такая настройка применяется для систем второго порядка, ее называют также настройкой на технический оптимум. Термин обусловлен тем, что если характеристический полином системы второго порядка представить в канонической форме, т.е. в виде

(7.5)

$D(p) = T_1^2 p^2 + 2ζT_1 p + 1$,

то при $2ζ=$png-file, 12 KB обеспечивается переходный процесс, близкий к оптимальному, при котором будет небольшое перерегулирование и относительно высокое быстродействие.

Рассмотрим сначала простейшую систему, представленную в предыдущем пункте (двигатель питается от источника тока). В относительных единицах ее структурная схема представлена на рис. 7.3. Если коррекцию осуществлять путем подбора передаточной функции регулятора $W_р(p)$, обеспечивающей оптимальный переходный процесс, то звенья с постоянными времени $T_μ$ и $T_о$ можно отнести к неизменной части системы, обозначив ее передаточную функцию через $W_н(p)$. Учитывая введенное обозначение, запишем передаточную функцию разомкнутого контура

(7.6)

$W(p) = W_р(p)W_н(p)$,

где

(7.7)

png-file, 12 KB,

(7.8)

png-file, 12 KB

$W_о(p)$ – передаточная функция объекта регулирования.

В замкнутом состоянии привод будет описываться передаточной функцией

(7.9)

png-file, 12 KB

Которая, в соответствии с нашим желанием обеспечить технический оптимум (7.5), за счет выбора передаточной функции регулятора $W_р(p)$, должна быть приведена к следующему виду

(7.10)

png-file, 12 KB

Из условия тождественного равенства передаточных функций (7.9) и (7.10) справедливы соотношения для передаточной функции синтезируемого регулятора

(7.11)

$W_р(p) = T_μ T_о / T_1^2$    и    $W_р(p) = T_о$ / ( png-file, 12 KB $T_1$),

где $T_1$ – свободная для выбора постоянная времени. Попробуем выбрать её так, чтобы компенсировать влияние большой постоянной времени $T_о$. Для этого введем подстановку $T_1 = a T_μ$ и перепишем соотношения (7.11) в виде

$W_р(p) = T_о / (a^2 T_μ)$    и    $W_р(p) = T_о$ / ( png-file, 12 KB $a T_μ$).

При $a$= png-file, 12 KB, имеем

(7.12)

$W_р(p) = T_о / (2 T_μ) = \vec{k}_р$.

Такой регулятор называют пропорциональным (П-регулятором). Если прейти от относительных единиц к абсолютным, то согласно (7.3.в) получим

(7.13)

$k_р = T_о / (2 T_μ k_п k_о k_{ос})$.

Таким образом, если передаточную функцию регулятора выбрать согласно (7.13), мы обеспечим настройку на оптимум по модулю и передаточная функция замкнутой системы, получит вид (7.10). Передаточную функцию настроенной на оптимум по модулю разомкнутой системы получим по выражению

(7.14)

png-file, 12 KB

Логарифмические частотные и фазовые характеристики системы, настроенной на оптимум по модулю, изображены на рис. 7.4 (линии А), где цифрой «-1» обозначен наклон 20 дБ/дек, а цифрой «-2» – 40 дБ/дек. Смысл термина настройки на оптимум по модулю в том, что при этом стремятся в широкой полосе частот сделать модуль частотной характеристики замкнутого контура близким к единице.

Переходный процесс в системе при ступенчатом управляющем воздействии показан на рис. 7.5.а, кривая А. Выходная величина в первый раз достигает установившегося значения через время $t=4.7 T_μ$, перерегулирование составляет 4.3 %. Так как влияние постоянной времени объекта $T_о$ было скомпенсировано коррекцией, длительность переходного процесса от нее не зависит, а определяется только малой постоянной времени $T_μ$.

png-file, 12 KB

Рис. 7.4. Логарифмические частотные и фазовые
характеристики разомкнутого привода

png-file, 12 KB

Рис. 7.5. Переходные процессы в приводе при
различных настройках регулятора

Теперь предположим, что двигатель питается от преобразователя напряжения. В этом случае, в первом приближении, постоянную времени $T_я$ можно не учитывать. Тогда передаточную функцию объекта по управлению можно представить в виде

(7.15)

png-file, 12 KB

Подставим $W_о(p)$ из (7.15) в (7.7) и получим передаточную функцию разомкнутой системы

(7.16)

png-file, 12 KB

Приравнивая правые части выражений (7.14) и (7.16), найдем передаточную функцию регулятора, при которой обеспечивается настройка системы на технический оптимум,

png-file, 12 KB

Учитывая полученное выше уравнение для оптимального передаточного коэффициента системы (7.13), представим полученную передаточную функцию стандартным пропорционально-интегральным звеном

(7.17)

png-file, 12 KB

где $τ_р=T_о$, а $k_р$ определяется по (7.13). Такой регулятор называют пропорционально-интегральным (ПИ-регулятор).

Если двигатель питается от преобразователя напряжения, и мы учитываем постоянную времени якорной цепи, то согласно (2.35.а) передаточная функция объекта по управлению имеет вид

(7.18)

png-file, 12 KB

где $k_о = 1 / (K Φ)$, $T_{о1} = T_м$, $T_{о2} = T_я$.

По аналогии с предыдущим случаем найдем

(7.19)

png-file, 12 KB

где $τ_{р1}=T_{о1}$, $τ_{р2}=T_{о2}$, а $k_р$ определяется по (7.13). Такой регулятор называют пропорционально интегрально дифференциальным (ПИД-регулятор).

7.2.2. Настройка на симметричный оптимум

Обратимся к структурной схеме рис. 7.2 и найдем из нее передаточную функцию настроенной на технический оптимум системы по возмущению, если объект описывается идеальным интегрирующим звеном. Путем структурных преобразований при $k_р$, определяемом согласно (7.13) получим

png-file, 12 KB.

Отсюда можно заключить, в настроенной на оптимум по модулю системе, если объект является идеальным интегратором, существует статическая ошибка регулирования по возмущению, равная

(7.20)

$u_{вых} = u_{вз} k_{вз} 2 T_μ / T_о$.

Для того, чтобы свести к нулю статическую ошибку в таких системах, можно использовать вместо пропорционального регулятора пропорционально-интегральный, выбирая $k_р$ согласно (7.13), но при этом положив в (7.17) $τ_р=4T_μ$. В результате получим передаточную функцию настроенной на симметричный оптимум системы

png-file, 12 KB.

Соответствующая этой передаточной функции частотная характеристика представлена на рис. 7.4 – линия В. Отметим, что изломы характеристики расположены симметрично относительно частоты среза со сдвигом по частоте на октаву, поэтому такая настройка названа симметричной.

Передаточная функция замкнутой системы по управлению имеет вид

png-file, 12 KB.

Переходный процесс системы при ступенчатом управляющем воздействии представлен на рис. 7.5.а – кривая В. Время первого достижения выходной величиной установившегося значения составляет $3.1T_μ$, максимальное перерегулирование составляет 43 %.

Передаточная функция по возмущению имеет вид

png-file, 12 KB.

Из нее можно заключить, что время переходного процесса зависит только от малой постоянной времени, а установившаяся ошибка равна нулю. Кривая переходного процесса представлена на рис. 7.5.б – кривая В.

Пропорционально-интегральный регулятор используется для настройки системы на симметричный оптимум при том же значении $τ_р=4T_μ$, если объект регулирования описывается апериодическим звеном. Частотная характеристика системы в этом случае представлена на рис. 7.4 – кривая С. В отличие от системы с объектом в виде идеального интегратора в данном случае частотная характеристика имеет излом при частоте $ω=1/T_о$. Чем меньше $T_о$, тем больше запас по фазе и тем меньше перерегулирование в кривой переходного процесса по возмущению. При $T_о=4T_μ$ переходный процесс соответствует процессам при настройке на оптимум по модулю. Если $T_о \lt 4T_μ$, настройка регулятора на симметричный оптимум теряет смысл.

Если объект является апериодическим звеном второго порядка и описывается передаточной функцией (7.18), то необходимо применять ПИД-регулятор. При этом, предполагая, что $T_{о1} \gt T_{о2}$ и $T_{о1} \gt 4T_μ$, нужно принять:

при $T_{о2} \gt 4 T_μ$

$τ_{р1} = T_{о2}$;   $τ_{р2} = 4 T_μ$;

(7.21)

$k_р = T_{о2} / (2 T_μ k_о k_п k_{ос}) × T_{о1} / (4 T_μ)$;

при $T_{о2} \lt 4 T_μ$

(7.22)

$τ_{р1} = 4 T_μ$;   $τ_{р2} = T_{о2}$;   $k_р = T_{о1} / (2 T_μ k_о k_п k_{ос})$.

Система или контур, в котором стремятся реализовать стандартные настройки, могут содержать нелинейные элементы. Например, передаточная характеристика преобразователя является нелинейной. Причем связь между выходным и входным напряжениями выражается гладкой нелинейной зависимостью. Очевидно, что в этом случае система, настроенная на оптимум в одной рабочей точке нелинейной характеристики преобразователя, оказывается расстроенной в другой точке. Если при настройке на оптимум по модулю при переходе в новую рабочую точку коэффициент преобразователя уменьшается, то система становится более вялой с затянутым переходным процессом. При увеличении передаточного коэффициента запас устойчивости в системе уменьшается и она становится более колебательной, а при увеличении передаточного коэффициента вдвое теряет устойчивость. При настройке системы на симметричный оптимум запас устойчивости уменьшается как при увеличении, так и при уменьшении передаточного коэффициента.

Для уменьшения или даже устранения влияния нелинейности на настройки системы в ее структурную схему вводят нелинейности обратного вида так, чтобы выполнялось условие $F_1(x)F_2(x)=1$, где $F_1(x)$ – нелинейность, имеющаяся в системе или контуре, $F_2(x)$ – искусственно введенная нелинейность. Для компенсации нелинейностей типа произведение, в структурную схему вводят нелинейность типа деления с тем же коэффициентом и по той же координате. Иногда для компенсации нелинейностей в системе в зависимости от режима работы меняют параметры регулятора, т.е. используют принцип адаптации.

7.2.3. Стандартные настройки с помощью корректирующих обратных связей

Из теории автоматического управления известно, что вид и время переходного процесса системы определяются значениями коэффициентов характеристического полинома. Если представить характеристический полином в нормированной форме Вышнеградского, то можно найти вполне определенные численные значения его коэффициентов, при которых переходный процесс по форме будет соответствовать техническому оптимуму.

Предположим, что передаточная функция замкнутого привода имеет вид

(7.23)

png-file, 12 KB.

Переход к нормированной форме Вышнеградского осуществляется введением нормированного оператора

(7.24)

png-file, 12 KB ,

где $p=d~/dt$, $q=d~/dτ$, $τ$ – безразмерное относительное время. После подстановки $p$ из (7.24) в знаменатель (7.23) нормированный характеристический полином запишем в виде

$D(p) = q^n + b_{n-1} q^{n-1} + ... + b_1 q + 1$.

Сочетание коэффициентов характеристического полинома, при которых система будет близка к техническому оптимуму, т.е. обеспечивается переходный процесс вида рис. 7.6.а с минимальным временем переходного процесса и с перерегулированием около 5 %, для различных значений $n$ представлено в табл. 7.1.

Таблица 7.1.

Характеристические полиномы, соответствующие техническому оптимуму системы

$n$  Характеристический полином 
2 $q^2 + 1.41 q + 1$
3 $q^3 + 2.06 q^2 + 1.31 q + 1$
4 $q^4 + 2.6 q^3 + 3.8 q^2 + 2.8 q + 1$

В табл. 7.2 представлены сочетания коэффициентов, при которых обеспечивается минимальное время апериодического переходного процесса. Заданные значения коэффициентов можно обеспечить с помощью дополнительных обратных связей. При этом обратная связь по первой производной от выходной координаты позволяет изменять коэффициент $b_1$, обратная связь по второй производной – коэффициент $b_2$ и т.д.

Таблица 7.2.

Характеристические полиномы, соответствующие апериодическому переходному процессу с минимальным временем

$n$  Характеристический полином 
2 $q^2 + 2 q + 1$
3 $q^3 + 3 q^2 + 3 q + 1$
4 $q^4 + 4 q^3 + 6 q^2 + 4 q + 1$

png-file, 12 KB png-file, 12 KB

Рис. 7.6. Кривые оптимальных переходных процессов (а) и структурная схема системы с корректирующими обратными связями по производным от основной выходной координаты (б)

Практически корректирующие обратные связи выбираются следующим образом. Предположим, что мы имеем замкнутую систему с передаточной функцией вида

png-file, 12 KB.

Если мы введем в систему дополнительные обратные связи по первой и второй производным от главной выходной координаты, как это показано на рис. 7.6.б, то, подбирая соответствующим образом их коэффициенты, сможем обеспечить заданное качество переходного процесса. Однако при этом не гарантировано выполнение требований по быстродействию системы. Для того, чтобы их выполнить обратимся к рис. 7.6.а, из которого следует, что впервые выходная величина в переходном процессе достигает заданного значения в зависимости от порядка системы через относительное время $τ_п=(3÷4.5)$. Согласно (7.24) реальное время связано с относительным соотношением png-file, 12 KB. Подставляя $τ=τ_п$, $t=t_п$ для нашего случая найдем требуемое значение $a_n$, которое определяется соотношением

(7.25)

$a_3 = (t_п / 3)^3$.

Требуемое значение $a_3$ можно обеспечить путем введения обратной связи по главной координате с коэффициентом $k_{ос}$. Действительно при введении жесткой обратной связи по выходной координате передаточная функция замкнутой системы получит вид

png-file, 12 KB

где

png-file, 12 KB.

Соответствующим выбором $k_{ос}$ можно получить требуемое значение $a_3'$.

После того как обеспечено требуемое значение $a_3'$ нетрудно известными из ТАУ методами определить значения коэффициентов обратных связей $c_1$ и $c_2$, при которых обеспечиваются значения коэффициентов нормированного характеристического полинома, обеспечивающие оптимальный переходный процесс.

Примечание 1. В типовом случае, коэффициент усиления цепи главной обратной связи электропривода – величина фиксированная – выбирается из необходимости приведения диапазона изменения выходной координаты к диапазону задающего сигнала ±5 В или ±10 В. Свободным же для выбора является коэффициент усиления прямого канала $k$ (дополнительный согласующий усилитель, коэффициент пропорционального канала регулятора). Который, в случае статической системы рекомендуется выбрать исходя из требований точности – жесткости механической характеристики $β$ (4.5) и (4.11), а в случае астатической – в соответствии с требованиями к быстродействию.

Примечание 2. Для координат электропривода свойственны взаимосвязи: интеграл момента (тока) в переходном режиме пропорционален скорости, интеграл скорости (ЭДС) пропорционален перемещению. Поэтому при проектировании систем управления дополнительные дифференцирующие устройства (источники шума) стараются не использовать – дополнительные обратные связи замыкают по внутренним координатам электропривода.

7.2.4. Понижение расчетного порядка системы

В рассмотренных выше примерах мы имели одну явновыраженную малую постоянную времени, к которой относили постоянную времени преобразователя. В реальном электроприводе таких постоянных может быть больше, к ней может добавиться, например, постоянная фильтра на выходе тахогенератора, паразитная постоянная в регуляторе и др. В этом случае вводят понятие эквивалентной малой постоянной времени, которую представляют суммой всех имеющихся малых постоянных в виде

(7.26)

$T_μ = T_{μ1} + T_{μ2} + ... + T_{μn}$.

Предположим, что мы имеем электропривод, который содержит двигатель, преобразователь и датчик скорости. Рассматривая двигатель как апериодическое звено второго порядка, отнесем его электромагнитную постоянную к малым. В результате структурная схема привода получит вид рис. 7.7.

Примем $T_μ=T_{μ1}+T_{μ2}$ и для настройки контура на оптимум по модулю возьмем ПИ-регулятор с передаточной функцией (7.17), где $τ_р=T_о$, а $k_р$ определяется согласно (7.13). Передаточная функция разомкнутого контура согласно рис. 7.7 имеет вид

(7.27)

$W(p) = W_р(p) W_н(p)$,

где передаточная функция неизменной части записывается выражением

png-file, 12 KB.

png-file, 12 KB

Рис. 7.7. Структурная схема системы с двумя малыми постоянными

Раскроем в выражении (7.27) $W_р(p)$ и $W_н(p)$ и получим выражение передаточной функции разомкнутой системы в виде

png-file, 12 KB.

Частотная характеристика системы, соответствующая последнему выражению имеет вид рис. 7.8. Там же для сравнения приведена частотная характеристика контура второго порядка настроенного на оптимум по модулю при наличии одной малой постоянной времени $T_μ=T_{μ1}+T_{μ2}$. Из рисунка видно, что при расчете параметров регулятора замена нескольких малых постоянных времени их суммой приводит к выбору такого быстродействия контура, при котором частота, соответствующая большей из малых постоянных времени (в нашем случае $1/T_{μ2}$) располагается более, чем на октаву вправо от частоты среза. Это обеспечивает в рассматриваемом контуре третьего порядка переходные процессы, близкие к переходным процессам контура второго порядка, настроенного на оптимум по модулю, при малой постоянной времени, равной сумме малых постоянных времени контура третьего порядка.

Изложенный подход может быть распространен и на контуры с большим числом постоянных $n$. В этом случае из их числа выбирают одну наибольшую (или две, в случае применения ПИД-регулятора), влияние которых на переходный процесс стремятся исключить. Для определения параметров регулятора остальные постоянные складываются, и в приведенные выше формулы подставляется png-file, 12 KB. Поскольку соответствующий выбор параметров регулятора обеспечивает частоту среза разомкнутого контура, равную $1/(2T_μ)$, погрешность от такого упрощения в области верхних частот оказывается небольшой. Звенья с малыми постоянными времени могут располагаться не только в прямом канале, но и в канале обратной связи.

png-file, 12 KB

Рис. 7.8. Частотные характеристики
исходной (1) и преобразованной (2) систем

Из сказанного следует важный вывод. В составе контура или системы может быть элемент с передаточной функцией высокого порядка, производить компенсацию которого признано нецелесообразным. Например, мы имеем датчик, который в определенной полосе частот имеет постоянный передаточный коэффициент, а при больших частотах – крутую падающую характеристику. Настраивая контур, содержащий такой элемент, надо выбирать частоту среза так, чтобы падающая часть его амплитудной характеристики начиналась правее частоты среза частотной характеристики разомкнутого контура. С этой точки зрения при выборе параметров регулятора можно заменить звено высокого порядка эквивалентным апериодическим звеном с передаточной функцией

png-file, 12 KB,

выбрав $T_{μi}$ – так, чтобы низкочастотная часть фазовой характеристики реального звена наилучшим образом совпадала с низкочастотной частью характеристики эквивалентного апериодического звена. Вследствие того, что в области частоты среза системы характеристики преобразованного контура мало отличаются от характеристик реального контура, настроенного на ОМ, переходные процессы в нем будут близки к оптимальным.

7.3. Принцип подчиненного регулирования

В процессе управления приводом регулируемая координата должна наилучшим образом воспроизводить изменения предписанного значения. Однако при этом часто оказывается необходимым ограничить пределы изменения одной или нескольких промежуточных координат (например, ток двигателя или его скорость при отработке углового перемещения). С этой целью одноконтурная система дополняется обратными связями по промежуточным координатам, с помощью которых реализуются различные варианты схем их ограничения. Среди них наибольшее распространение получили системы, построенные по принципу подчиненного регулирования, который поясняется рис. 7.9.

png-file, 12 KB

Рис. 7.9. Структурная схема двухконтурной системы
подчиненного регулирования

В системе предусмотрено два контура регулирования со своими регуляторами Р1 и Р2, причем выходное напряжение регулятора внешнего контура $u_{р2}$ является задающим напряжением для регулятора внутреннего контура. Выходное напряжение регулятора Р2 ограничено предельным значением $u_{р2~огр}$. Поскольку выходное напряжение внутреннего контура $u_{вых1}$ определяется его задающим значением, т.е. выходным напряжением регулятора Р2, оно не может превышать $u_{р2~огр}$.

Применяя в рассматриваемой схеме ПИ-регулятор, можно реализовать стандартную настройку внутреннего контура, быстродействие которого будет определяться его малой постоянной времени $T_{μ1}$. Как мы показали в п. 7.2.1 при настройке на оптимум по модулю передаточная функция замкнутого контура запишется в виде (7.10).

В контуре может быть не одна, а несколько малых постоянных времени. Тогда $T_{μ1}$ будет представлять собой суммарную малую постоянную времени контура, а полученная передаточная функция замкнутого контура $W_{1э}(p)$ будет описывать его приближенно.

Передаточную функцию

png-file, 12 KB

можно рассматривать как передаточную функцию неизменной части нового внешнего замкнутого контура, имеющего собственный регулятор Р2 с передаточной функцией $W_{р2}(p)$. Рассматривая замкнутый внутренний контур $W_{1э}(p)$ как звено с эквивалентной малой постоянной, параметры регулятора нужно выбирать так, чтобы исключить влияние на динамику внешнего контура эквивалентной постоянной времени $T_{1э}$. При расчете параметров регулятора внешнего контура внутренний замкнутый контур в соответствии с изложенным выше методом понижения порядка системы можно заменить апериодическим звеном с передаточной функцией

png-file, 12 KB

где при настройке внутреннего контура на оптимум по модулю принимают $T_{1э}=2T_{μ1}$. Если во внешнем контуре есть свои малые постоянные времени, то $T_{1э}$ входит как слагаемое в состав его суммарной малой постоянной времени.

Рассмотренный внешний контур может, в свою очередь, выступать как внутренний по отношению к третьему контуру и т.д. Такой принцип построения системы называется принципом подчиненного регулирования, так как работа каждого внутреннего контура подчинена внешнему контуру. Два главных достоинства определяют широкое распространение систем подчиненного регулирования.

1. Простота расчета и настройки. Система разбивается на ряд контуров. Каждый контур включает в себя регулятор, за счет придания которому определенных динамических свойств получается стандартная характеристика. Настройка в процессе наладки системы ведется, начиная с внутреннего контура. Поскольку передаточные функции регуляторов контуров простые, а оценка качества регулирования осуществляется по виду переходного процесса при скачке управляющего воздействия, настройка не вызывает затруднения.

2. Удобство ограничения предельных значений промежуточных координат системы. Поскольку выходной сигнал внешнего регулятора определяет значение выходной координаты внутреннего контура, ограничение последней осуществляется ограничением выходного сигнала регулятора внешнего контура.

Вместе с тем мы показали, что даже при отсутствии во внешнем контуре других звеньев с малыми постоянными времени, кроме внутреннего контура, его малая постоянная времени будет, по крайней мере, вдвое больше постоянной времени внутреннего контура. Это значительно ухудшает быстродействие системы при увеличении числа контуров. Поэтому системы подчиненного регулирования редко строятся с числом контуров более трех.

7.4. Реализация регуляторов на операционных усилителях

В аналоговых системах, которые мы рассматриваем, задание выходной координаты, выявление ошибки и формирование управляющего сигнала осуществляется в виде постоянного напряжения, поэтому регуляторы реализуются на основе операционных усилителей постоянного тока, работающих в режиме суммирования токов. Из курса электронных устройств известно, что если на внешние входные R- или RC-цепи, обозначенные $Z_1,~Z_2,~...,~Z_n$, связанные с инвертирующим входом усилителя, подать сигналы $u_1,~...,~u_n$, и на этот же вход, через цепь $Z_{ос}$, подать сигнал обратной связи рис. 7.10, то передаточная функция, связывающая выходной сигнал с любым из входных $q$, определяется по выражению

png-file, 12 KB

png-file, 12 KB

Рис. 7.10. Схема суммирующего операционного усилителя
с ограничением выходного сигнала

В табл. 7.3 приведены полученные на основе приведенного выражения передаточные функции для пропорционального (П), интегрирующего (И), пропорционально-интегрального (ПИ), дифференцирующего (Д), пропорционально-дифференциального (ПД) и пропорционально-интегрально-дифференциального (ПИД) регуляторов.

Ограничение выходного напряжения регулятора легко достигается путем охвата усилителя цепями обратных связей, включающими в себя источники постоянного напряжения $U_{огр1}$ и $U_{огр2}$ и диоды VD1, VD2 (на рис. 7.10 показано пунктиром). C такой схемой величина выходного напряжения не превышает $-U_{огр1}$ и $+U_{огр2}$.

Таблица 7.3

Электрические схемы, передаточные функции и параметры регуляторов

png-file, 12 KB